广西河池市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 等差数列 $\frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， \cdot \cdot \cdot$ 的第4项为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3) ， \vec{b} = (0 ， - 1 ， 4)$ ，则 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 等于（）

A、 $(- 4 ， 6 ， 14)$ B、 $(- 4 ， 0 ， 6)$ C、 $(- 4 ， 3 ， 6)$ D、 $(2 ， 1 ， 18)$

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4. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 + m} - \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示双曲线，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- 3 ， 4)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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5. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n} = a_{n + 1} (n \in N_{+})$ ，且前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{5}}$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{31}{2}$

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6. 已知a，b，c为不同直线， $α ， β$ 为不同平面，给出下列命题：
$p_{1}$ ：若 $a ⊥ α ， b ⊥ β ， a ∥ b$ ，则 $a ∥ β$ ；
$p_{2}$ ：若 $a ∥ β$ ，则 $β$ 内存在与a相交的直线；
$p_{3}$ ：若 $α \cap β = a ， b \subset α ， a ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ ；
$p_{4}$ ： $α ⊥ β ， α ∩ β = c ， a \subset α ， b \subset β$ ，若a不垂直于c，则a不垂直于b．
其中为假命题的是（）

A、 $p_{1} ， p_{2}$ B、 $p_{2} ， p_{3}$ C、 $p_{3} ， p_{4}$ D、 $p_{2} ， p_{3} ， p_{4}$

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7. 已知 $p ： l o g_{3} x < 1 ， q ： x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ，那么p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = \frac{1}{2} b ， A = 2 B$ ，则 $c o s B$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 c \cdot c o s^{2} \frac{A}{2} = b + c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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10. 已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} - a x + 3$ 满足对任意 $x \in [a - 2 ， a]$ ，恒有 $f (x) > 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， \frac{5 + \sqrt{10}}{3})$ C、 $(\frac{5 - \sqrt{10}}{3} ， 1)$ D、 $(1 ， \frac{5 + \sqrt{10}}{3})$

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11. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 $l ： 2 x - y = 0$ 交椭圆E于A，B两点．若 $| A F | + | B F | = 6$ ，点M到直线l的距离不小于1，则椭圆E的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{3}{4} ， 1)$

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12. 已知直线l过抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，且与抛物线分别交于A，B两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ （O为坐标原点）的值为（）

A、0 B、-1 C、-2 D、 $- \frac{3}{16}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，若 $B C = 2 ， A C = 1 ， A = 30 °$ ，则 $s i n B =$ ．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 4 ， a_{7} - 2 a_{5} = 32$ ，则 $a_{1} =$ ．

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15. 变量x，y满足条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 1 \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 5 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值为．

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值等于.

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三、解答题

17. 已知p：方程 $x^{2} + 2 a x + 4 = 0$ 无实数根，q：函数 $f (x) = (1 + a)^{x}$ 是增函数.

(1)、当 $a = 0$ 时，判断 $p \land q$ 的真假；

(2)、若 $p \lor q$ 为假命题，求实数a的取值范围.

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18. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 16 ， S_{2} = 12$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{a}{b} = 2 s i n A$ .

(1)、求 $c o s B$ ；

(2)、若 $a = 5 \sqrt{2} ， c = 3 \sqrt{6}$ ，求b的值.

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20. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1 ， A A_{1} = 2$ ， E在线段 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求直线 $D_{1} E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，且过点 $P (- 2 ， - 3)$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知直线 $y = x + m$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段 $A B$ 的中点为 $M (x_{0} ， y_{0})$ ，当 $x_{0} \neq 0$ 时，求 $\frac{y_{0} + 2 m}{3 x_{0} - m}$ 的值．

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22. 已知M，N是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点和右顶点，且直线 $M N$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且 $\overset{⇀}{A B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

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