广东省深圳市宝安区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知三维数组 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， k ， 7)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则实数 $k =$ （）

A、-2 B、-9 C、 $\frac{2}{7}$ D、2

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{m}$ ＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）

A、16 B、8 C、2 D、1

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3. 过点 $A (1 ， 2)$ 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $2 x - y = 0$ 或 $x + y - 3 = 0$ D、 $2 x - y = 0$ 或 $x - y + 1 = 0$

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4. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = a$ ， $\vec{A D} = b$ ， $\vec{A A_{1}} = c$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）．

A、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c$ B、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c$ C、 $- \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + c$ D、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + c$

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5. 一个动圆与定圆 $F ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ 相外切，且与直线 $l ： x = - 1$ 相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 $y^{2} = 6 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 12 x$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $l o g_{2} a_{n} - 1 = l o g_{2} a_{n + 1} (n \in N)$ ，若 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + … … + a_{2 n - 1} = 2^{n}$ .则 $l o g_{2} (a_{2} + a_{4} + a_{6} + … … + a_{2 n})$ 的值是（）

A、 $2 n + 1$ B、 $2 n - 1$ C、 $n + 1$ D、 $n - 1$

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7. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，若其欧拉线的方程为 $x - y + 2 = 0$ ，则顶点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 4 ， 0)$ B、 $(- 2 ， - 2)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- 4 ， - 2)$

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8. 已知 $M$ ， $N$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上关于短轴对称的两点， $A$ 、 $B$ 分别为椭圆的上、下顶点，设， $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 分别为直线 $M A$ ， $N B$ 的斜率，则 $| \frac{1}{4 k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，则下列各数不是 ${a_{n}}$ 的项的有（）

A、-2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - a = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $a x - (2 a - 3) y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $l_{2}$ 始终过定点 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或-3 C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或2 D、当 $a > 0$ 时， $l_{1}$ 始终不过第三象限

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11. 若公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 n - 3$ ，则下列结论正确的为（）

A、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 也是等差数列 B、 $d = 2$ C、 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ D、13是数列 ${a_{n}}$ 中的项

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C：x²– $\frac{y^{2}}{4}$ =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF₁⊥PF₂ ，直线PF₂与y轴交于点Q，连接QF₁ ， △PQF₁ ，的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（）

A、F₁ ， F₂ ， P，I四点共圆 B、△PQF₁的内切圆半径为1 C、I为线段OQ的三等分点 D、PF₁与其中一条渐近线垂直

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三、填空题

13. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 0)$ 为 $α$ 内一点，则点 $P (1 ， 0 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为．

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14. $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，若2是 $a$ 与 $b + 1$ 的等比中项，则 $a + b$ 的最小值为.

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15. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $O$ 为坐标原点，若 $△ P O F$ 为等边三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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16. 如图，抛物线 $y = \sqrt{x}$ 上的点与 $x$ 轴上的点构成等边三角形 $O P_{1} Q_{1}$ ， $O_{1} P_{2} Q_{2}$ ， $\dots Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ ， $\dots$ 其中点 $P_{n}$ 在抛物线上，点 $Q_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}$ ， $0)$ ，猜测数列 ${x_{n}}$ 的通项公式为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $s i n B = \frac{5}{13}$ ，且 $h (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若a、b、c成等差数列，求b的值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 5 a_{1}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${1 + \frac{2}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，用符号 $[x]$ 表示不超过x的最大数，当 $[T_{1}] + [T_{2}] + \cdot \cdot \cdot + [T_{n}] = 52$ 时，求 $n$ 的值.

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19. 已知圆 $C$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (5 ， 0)$ ，且圆心在直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $D (- 1 ， 1)$ ，且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设直线 $l ： x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点，点 $P$ 为圆 $C$ 上的一动点，求 $△ P M N$ 的面积 $S$ 的最大值．

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20. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A A_{1} = 4 ， B C = 2 ， ∠ A C B = 9 0^{°} ， A_{1} B ⊥ A C_{1}$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ .

(2)、若 $∠ A_{1} A C = 6 0^{°}$ ，在线段 $A C$ 上是否存在一点 $P$ 使平面 $B A_{1} P$ 和平面 $A_{1} A C C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4} ?$ 若存在，确定点 $P$ 的位置；若不存在，说明理由.

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21. 若函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - 2 a \cdot 2^{x} + 1 - b (a > 0)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值为9，最小值为1.

(1)、求a，b的值；

(2)、若方程 $f (x) - k \cdot 2^{x} = 0$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上有两个不同的解，求实数k的取值范围.

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22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 $l$ 在y轴上的截距为m $(m \neq 0)$ ， $l$ 交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

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