广东省广州市越秀区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A (3 ， 5)$ ， $B (1 ， 7)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角大小是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在坐标平面 $x O y$ 上的投影向量是（）

A、 $(0 ， 2 ， 1)$ B、 $(2 ， 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1 ， - 3)$ D、 $(2 ， 0 ， - 3)$

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3. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点坐标是（）

A、（0,1） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1,0） D、（0， $\frac{1}{2}$ ）

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4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、3盏 B、7盏 C、9盏 D、11盏

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5. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 16$ 与圆 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，则异面直线 $O B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为整数的递增数列，且 $a_{1} \geq 5$ ，若 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} = 300$ ，则n的最大值为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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二、多选题

8. 已知曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 0$ ， $n = 1$ ，则C是两条直线，都平行于y轴 B、若 $m = n > 0$ ，则C是圆，其半径为 $\frac{1}{n}$ C、若 $m > n > 0$ ，则C是椭圆．其焦点在 $x$ 轴上 D、若 $m > 0 ， n < 0$ ，则C是双曲线，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$

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9. 已知点P是 $△ A B C$ 所在平面外一点，若 $\vec{A B} = (0 ， 1 ， - 1) ， \vec{A C} = (4 ， 3 ， 2) ， \vec{A P} = (3 ， 0 ， - 4)$ ，则（）

A、 $A B ⊥ A P$ B、 $B C ⊥ A P$ C、 $| \vec{A P} | = 5$ D、 $| \vec{B P} | = \sqrt{19}$

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10. 已知直线 $l ： a x + b y = r^{2}$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若点 $P (a ， b)$ 在圆C内，则直线l与圆C相交 B、若点 $P (a ， b)$ 在圆C外，则直线l与圆C相离 C、若直线l与圆C相切，则点 $P (a ， b)$ 在直线l上 D、若直线l与圆C相离，则点 $P (a ， b)$ 在圆C内

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为3的等比数列，则（）

A、 ${\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$ 是等差数列 B、 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等差数列 C、 ${l o g_{3} a_{n}}$ 是等比数列 D、 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 是等比数列

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M为 $D D_{1}$ 的中点，N为平面 $A B C D$ 内一动点，则下列命题正确的是（）

A、若点N到点M的距离为2，则点N的轨迹所围成图形的面积为 $3 π$ B、若直线 $M N$ 与平而 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则点N的轨迹为椭圆 C、若直线 $M N$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则点N的轨迹为双曲线 D、若点N到直线 $C C_{1}$ 的距离与点N到直线 $A D$ 的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} =$ ．

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14. 已知直线 $l_{1} ： a x - y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (a - 2) x + a y - 1 = 0$ 平行，则实数a的值为．

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15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A A_{1} = 3 ， A D = 2$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段 $P F$ 的中点M在以原点O为圆心， $| O F |$ 为半径的圆上，则直线 $P F$ 的斜率是．

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1 ， 1)$ 、 $B (3 ， 3)$ 、 $C (2 ， 0)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、判断 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点是否在同一个圆上？并说明理由．

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18. 在① $a_{3} + b_{3} = 9$ ；② $a_{2} + b_{3} = a_{4}$ 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q (q > 0)$ 的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 5$ ， ____．

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C ， ∠ A B C = 120 ° ， △ P A C$ 是边长为6的等边三角形， $P B = \sqrt{30}$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合， $C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于A，B两点，交 $C_{2}$ 于C，D两点，且 $| C D | = \frac{4}{3} | A B |$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 的离心率；

(2)、若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 $12$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ． E为 $P D$ 的中点，点F在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ，点G在 $P B$ 上，且 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求证： $A G / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，且过点 $A (2 ， 3)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、若点M，N在C上，且 $A M ⊥ A N ， A B ⊥ M N$ ， B为垂足．是否存在定点Q，使得 $| B Q |$ 为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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