广东省广州市天河区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $2 x + 3 y + 6 = 0$ 在y轴上的截距是（）

A、2 B、3 C、-3 D、-2

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2. 求点 $A (2 ， 1 ， - 2)$ 关于x轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 1 ， - 2)$ D、 $(2 ， - 1 ， 2)$

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3. 已知点 $P (- 3 ， - 4)$ ， Q是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，则线段 $P Q$ 长的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 已知椭圆方程为： $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{3 m} = 1$ ，则其离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的 $\frac{1}{4}$ 是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）

A、30 B、40 C、50 D、60

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 12 x$ 的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若 $\vec{P B} = 2 \vec{B F}$ ，则 $| \vec{B F} |$ 为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 25$ ，直线 $l ： y = k x + 1 - k$ ，直线l被圆O截得的弦长最短为（）

A、 $2 \sqrt{22}$ B、 $2 \sqrt{23}$ C、8 D、9

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8. 数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）

A、153 B、190 C、231 D、276

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二、多选题

9. 过点 $P (- 2 ， 0)$ 的直线l与直线 $l_{1} ： x + y - 2 = 0$ 平行，则下列说法正确的是（）

A、直线l的顿斜角为 $45 °$ B、直线l的方程为： $x + y + 2 = 0$ C、直线l与直线 $l_{1}$ 间的距离为 $2 \sqrt{2}$ D、过点P且与直线l垂直的直线为： $x - y + 2 = 0$

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10. 已知曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{16 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $C_{1}$ 的焦点到其渐近线的距离是3 B、当 $9 < k < 16$ 时，两曲线的焦距相等 C、当 $k < 9$ 时，曲线 $C_{2}$ 为椭圆 D、当 $k > 16$ 时，曲线 $C_{2}$ 为双曲线

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ ，下列说法正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为公比大于0，且不等于1的等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 为单调数列 B、若等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} > 0 ， S_{11} = 0$ ，则当 $n = 10$ 时， $S_{n}$ 最大 C、若点 $(n ， a_{n})$ 在函数 $y = k x + b$ （k，b为常数）的图象上，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、若点 $(n ， a_{n})$ 在函数 $y = k \cdot a^{x}$ （k，a为常数， $k \neq 0 ， a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象上，则数列 ${a_{n}}$ 为等比数列

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12. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 所在平面与正方形 $A B E F$ 所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $\exists a \in (0 ， \sqrt{2})$ ，使 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C E}$ B、线段 $M N$ 存在最小值，最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、直线 $M N$ 与平面 $A B E F$ 所成的角恒为 $45 °$ D、 $\forall a \in (0 ， \sqrt{2})$ ，都存在过 $M N$ 且与平面 $B C E$ 平行的平面

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三、填空题

13. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 关于直线 $l ： 2 x + a y = 0$ 对称，则 $a =$ ．

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14. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A A_{1}} = a ， \vec{A B} = b ， \vec{A D} = c$ ， N是 $B C$ 的中点，则向量 $\vec{A_{1} N} =$ ．（用 $a ， b ， c$ 表示）

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过 $F_{1}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若 $| O N | = \frac{| F_{1} F_{2} |}{6}$ ，则双曲线E的渐近线方程为．

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16. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1 ， S_{n} = 2 a_{n + 1}$ ，则 $a_{3} =$ ；数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $M (5 ， 2) ， N (- 1 ， - 4)$ 两点．

(1)、求以线段 $M N$ 为直径的圆C的方程；

(2)、在（1）中，求过M点的圆C的切线方程．

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18. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{4} = 9$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} \cdot a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，过 $E$ 点作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .求证：

(1)、 $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、 $P B ⊥$ 平面 $E F D$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n} (\frac{1}{a_{n}} + 2^{n})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图1是直角梯形 $A B C D ， A B ∥ D C ， ∠ D = 90 ° ， A B = 2 ， A D = \sqrt{3} ， C E = 2 E D = 2$ ，以 $B E$ 为折痕将 $B C E$ 折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且平面 $B C_{1} E$ 与平面 $A B E D$ 垂直，如图2．

(1)、求异面直线 $B C_{1}$ 与 $A D$ 所成角的余弦值；

(2)、在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使平面 $P E B$ 与平面 $C_{1} E B$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，则求三棱锥 $C_{1} - P B E$ 的体积，若不存在，则说明理由．

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22. 已知点 $A (1 ， 0)$ 及圆 $B ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 8$ ，点P是圆B上任意一点，线段 $A P$ 的垂直平分线l交半径 $B P$ 于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、设存在斜率不为零且平行的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形 $C D M N$ 是菱形，求该菱形周长的最大值．

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