广东省广州市番禺区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 1}$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

查看试题解析
2. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 2 i (3 - 2 i)$ 对应的点在平面内位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 直线 $l_{1} ： m x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： (m - 2) x + m y - 1 = 0$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 在空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在线段OA上，且 $O M = 2 M A$ ， N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

查看试题解析
6. 与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为（）

A、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ B、 $3 x + 4 y + 5 = 0$ C、 $3 x - 4 y + 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$

查看试题解析
7. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作x轴的垂线交曲线C于点P， $F_{2}$ 为右焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 45 °$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

查看试题解析
8. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{5} > 0$ ， $a_{3} + a_{8} < 0$ ，则使数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} < 0$ 成立时n的最小值为（）

A、6 B、7 C、9 D、10

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 最大值为2 C、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

查看试题解析
10. 在空间中，已知a，b，c是三条不同的直线， $α$ 是一平面，下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ C、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a ∥ b$

查看试题解析
11. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列 ${a_{n}}$ 是公积不为0的等积数列，且 $a_{1} = 3$ ，前7项的和为14.则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n + 2} = a_{n}$ B、 $a_{2} = \frac{2}{3}$ C、公积为1 D、 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = 6$

查看试题解析
12. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l.过焦点F的直线交曲线C于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则（）

A、以 $P F$ 为直径的圆与准线l相切 B、以 $P Q$ 为直径的圆与准线l相切 C、 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{| F P |} + \frac{1}{| F Q |} = \frac{2}{p}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m ， - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m的值是.

查看试题解析
14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ 则密码被成功破译的概率．

查看试题解析
15. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $P (2 ， 1)$ 作圆O的切线，则切线方程为.

查看试题解析
16. 已知A，B为x，y正半轴上的动点，且 $| A B | = 4$ ， O为坐标原点，现以 $| A B |$ 为边长在第一象限做正方形 $A B C D$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知在△ $A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $c c o s B + (b - 2 a) c o s C = 0$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求△ $A B C$ 的面积S的最大值.

查看试题解析
19. 2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为： $[15 ， 25)$ ， $[25 ， 35)$ ， $[35 ， 45)$ ， $[45 ， 55)$ ， $[55 ， 65]$ ，得到频率分布直方图如图所示，其中 $a - b = 0.028$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；

(2)、学校要在参加公益劳动总时间在 $[35 ， 45)$ 、 $[45 ， 55)$ 这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D$ ， O为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $B C = C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，记动点P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、若动直线l经过点 $(1 ， 0)$ ，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $m f (x) \leq 2^{- x} + m - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围．

查看试题解析