广东省广州市白云区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = \sqrt{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(2 ， - 4)$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{4} = 12$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前6项之和为（）

A、12 B、32 C、36 D、72

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4. 已知点 $P (- 1 ， 2)$ 到直线 $l ： 4 x - 3 y + m = 0$ 的距离为1，则m的值为（）

A、-5或-15 B、-5或15 C、5或-15 D、5或15

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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6. 已知 $△ A B C$ 的周长为14，顶点 $B$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0 ， 3)$ 、 $(0 ， - 3)$ ，则点 $A$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 (x \neq 0)$ B、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{7} = 1 (y \neq 0)$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 (y \neq 0)$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{7} = 1 (x \neq 0)$

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7. 在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， $\vec{B Q} = \vec{Q C}$ ，则 $\vec{P Q}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列， ${b_{n}}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，设 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n} (n \in N^{*})$ ，则当 $T_{n} < 2022$ 时，n的最大值是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定共面 B、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 一定不共面 C、设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ D、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个空间向量，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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10. 已知点P在圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 上，点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则（）

A、直线 $A B$ 与圆C相交 B、直线 $A B$ 与圆C相离 C、点P到直线 $A B$ 距离小于5 D、点P到直线 $A B$ 距离大于1

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11. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 在 $x$ 轴上，短轴长等于2，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，过焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $| P Q | = \frac{1}{2}$ D、 $| P F_{2} | = \frac{7}{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{4} = 9$ B、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 C、 $a_{2 n} - a_{2 n - 1} = 2 \cdot 3^{n}$ D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 4 \cdot 3^{n - 1}$

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 5)$ ， $\vec{b} = (4 ， m ， - 10)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知直线 $y = x + \frac{p}{2}$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于A，B两点，且 $| A B | = 8$ ，则抛物线C的准线方程为.

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15. 在平面上给定相异两点A，B，点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = λ$ ，则当 $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ 时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = 3$ ，若 $△ P A B$ 的面积的最大值为3，则 $△ P C D$ 面积的最小值为.

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16. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 $n (n > 1 ， n \in N^{*})$ 个点，相应的图案中点的个数记为 $a_{n}$ ，按此规律，则 $a_{6} =$ ， $a_{100} =$ .

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四、解答题

17. 已知圆 $M$ 的圆心为 $(2 ， 1)$ ，且经过点 $N (6 ， - 2)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l ： 3 x + 4 y + 5 = 0$ 与圆 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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18. 在① $a_{1} ， \frac{3}{2} ， a_{2}$ 成等差数列；② $a_{1} ， a_{2} - 4 ， a_{3}$ 成等比数列；③ $S_{3} = 7$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1} (n \in N^{*}) ， a_{n} \neq 0$ ，且____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D是 $B C$ 的中点， $A B = B B_{1} = 2$ .

(1)、求点C到平面 $A C_{1} D$ 的距离；

(2)、试判断 $A_{1} B$ 与平面 $A C_{1} D$ 的位置关系，并证明你的结论.

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20. 已知 $A (1 ， 1) ， B (2 ， 3) ， C (n ， a_{n})$ 三点共线，其中 $a_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 中的第n项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P D ⊥ A C$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、已知 $A B = 1$ ， $C D = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，且直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $B D P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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22. 动点 $M (x ， y)$ 与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到定直线 $l ： x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知过点 $P (- 1 ， 1)$ 的直线与曲线C相交于两点 $A$ ， $B$ ，请问点P能否为线段 $A B$ 的中点，并说明理由.

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