福建省宁德市2021-2022学年高二上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线经过两点 $A (m ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ 且倾斜角为45°，则m的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则其焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、6 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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3. 已知 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 31$ ，则自然数 $n =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 为各项都是正数的等比数列， $a_{6}^{2} = 9 a_{1} \cdot a_{9}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{6}}{a_{4} + a_{7}} =$ （）

A、3 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选3人分別参加数学、物理和生物竞赛．若每个学科有且仅有1人参赛，且甲不参加物理竞赛，则不同的选法共有（）

A、48种 B、24种 C、60种 D、40种

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = n^{2}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 前10项和是（）

A、 $\frac{11}{23}$ B、 $\frac{9}{19}$ C、 $\frac{10}{21}$ D、 $\frac{20}{21}$

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7. 赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，若一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为（）

A、3米 B、4米 C、5米 D、3.5米

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8. 已知F是双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点，若直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线相交于A，B两点，且 $∠ A F B \geq 120 °$ ，则k的范围是（）

A、 $[\frac{ \sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{6}]$ C、 $[\frac{\sqrt{7}}{7} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{7}}{7}]$

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二、多选题

9. 使不等式 $C_{n}^{2} \geq C_{n}^{3} (n \in N_{+})$ 成立的n的取值可以是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 的双曲线方程可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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11. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，以下四个结论正确的是（）

A、过点 $A (1 ， 2)$ 与圆M相切的直线方程为 $x = 1$ B、圆M上的点到直线 $4 x - 3 y + 5 = 0$ 的距离的最大值为3 C、过点 $(1 ， 1)$ 可以作两条直线与圆M相切 D、圆M与圆 $N ： (x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 1$ 相交

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12. 如图， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是边长为9cm的等边三角形，点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} A_{1}$ 分成1：2的两部分，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，依循相同的规律 $A_{3}$ 、 $B_{3}$ 、 $C_{3}$ 依次将 $A_{2} B_{2}$ 、 $B_{2} C_{2}$ 、 $C_{2} A_{2}$ 分成1：2的两部分，得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，不断重复这个步骤，得到三角形 $△ A_{4} B_{4} C_{4}$ ， …， $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ ， …．若 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积记为 $a_{n}$ ， $△ A_{n} A_{n + 1} C_{n + 1}$ 的面积记为 $b_{n}$ ，现给出下列四个结论，其中正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的等比数列 B、数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 为常数列 C、数列 ${b_{n}}$ 的前n项 $S_{n} < \frac{1}{3} a_{1}$ D、一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \cdot \cdot \cdot A_{n} \cdot \cdot \cdot$ 爬行，则该蚂蚁所爬行的总距离小于 $\frac{15}{2} c m$ ．

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三、填空题

13. 过原点且方向向量为 $(1 ， 3)$ 的直线方程为．

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14. 甲、乙、丙3个公司承包5项不同工程，甲、乙公司均承包2项，丙公司承包1项，则共有种承包方式．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = n - 1 (n \geq 2)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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16. 已知四边形ABCD为椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的内接矩形，其中点A，B关于x轴对称， $| A B | = \sqrt{3} | A D |$ ，点F是椭圆的一个焦点，线段AF的中点落在直线BD上，则椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. 在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，____．给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；
②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2；
③所有偶数项的二项式系数的和为128．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

(1)、求 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式中x的系数；

(2)、写出 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 在三角形ABC中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $A B$ 边上的中线所在直线的方程为 $x = 1$ ， AC边上的高所在直线的方程为 $y = - 2 x + 6$ ．

(1)、求C的坐标；

(2)、若 $D (1 ， - 4)$ ，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由．

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的各项都为正数，且满足 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{3} = b_{1} + b_{2}$ ， $S_{3} = b_{3} + 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n = 2 k - 1 \\ b_{n} ， n = 2 k \end{array} (k \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）

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20. 已知椭圆 $Γ$ 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(- 2 ， 0)$ ，直线 $l ： y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 与y轴交于P点，且与椭圆 $Γ$ 交于A，B两点．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 0$ ，数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，且满足 $a_{n + 1} - a_{n} = b_{n} - b_{n + 1} + 1$ ．

(1)、分别求数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 与 ${a_{n} + b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}^{2} - b_{n}^{2}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若不等式 $S_{n} < t$ 恒成立，求t的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线 $x = - 2$ 的距离比到点 $F (1 ， 0)$ 的距离大1.圆F的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ．

(1)、求动点P的轨迹E的方程；

(2)、过点 $Q (2 ， 0)$ 的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

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