北京市西城区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $a = (1 ， - 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $(1 ， 5 ， 2)$ 关于 $x O y$ 坐标平面的对称点为（）

A、 $(- 1 ， 5 ， 2)$ B、 $(1 ， - 5 ， 2)$ C、 $(1 ， 5 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 5 ， - 2)$

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3. 抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 的焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则其准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $y = - 1$ D、 $y = 1$

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4. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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5. 在 ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为（）

A、5 B、-5 C、10 D、-10

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则直线 $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、30º B、45º C、60º D、90º

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7. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其中 $a > b > 0$ .若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦距之比为 $1 ： 3$ ，则 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $2 x \pm \sqrt{5} y = 0$ B、 $\sqrt{5} x \pm 2 y = 0$ C、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ D、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$

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8. 将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、48种 B、36种 C、24种 D、12种

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9. 设抛物线的顶点为原点，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过 $F$ 的直线交抛物线于点 $A$ ，则以 $A F$ 为直径的圆（）

A、必过原点 B、必与 $x$ 轴相切 C、必与 $y$ 轴相切 D、必与抛物线的准线相切

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10. 如图，某市规划在两条道路边沿 $P M ， P N$ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中 $B_{1} B_{2}$ 为椭圆的短轴， $O A$ 为椭圆的半长轴.已知 $O P = 3 k m$ ， $B_{1} B_{2} = 2 k m$ ， $∠ M P N = 45 °$ .为使 $O A$ 尽可能大，其取值应为（）（精确到 $0.1 k m$ ）

A、 $2.9 k m$ B、 $2.8 k m$ C、 $2.7 k m$ D、 $2.6 k m$

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二、填空题

11. 圆心为 $(1 ， 0)$ 且过原点的圆的方程是.

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12. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + 1 = 0$ .若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ .

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13. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $B D_{1}$ 的平面分别交 $A A_{1} ， C C_{1}$ 于点 $M ， N$ .给出下列四个结论：
①四边形 $D_{1} M B N$ 一定是平行四边形；
②四边形 $D_{1} M B N$ 可能是正方形；
③四边形 $D_{1} M B N$ 为菱形时，其面积最小；
④四边形 $D_{1} M B N$ 为矩形时，其面积最大.
其中所有正确结论的序号是.

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14. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，则直线 $A A_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小为；直线 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离为.

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的两个焦点是 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，则 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | =$ ；若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为锐角，则点 $P$ 的纵坐标的取值范围是.

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三、解答题

16. 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.

(1)、共有多少种不同的选择方法？

(2)、如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？

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17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $A E = 1$ .

(1)、求直线 $A_{1} E$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A_{1} - E C - D$ 的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $P (0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | = | P B |$ ，求 $m$ 的值.

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19. 设 $A ， B$ 为两定点， $A B = 2$ ，曲线 $C$ 是到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ > 0)$ 的点组成的集合.

(1)、判断 $A B$ 的中点是否在曲线 $C$ 上；

(2)、建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $C$ 的方程，并讨论曲线 $C$ 的形状.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 120 °$ ， $P D = A D = 2$ .点 $M$ 在 $P B$ 上，且 $P B ⊥$ 平面 $A C M$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、求 $\frac{P M}{P B}$ 的值；

(3)、求点 $M$ 到平面 $P A D$ 的距离.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点.

(1)、证明： $| M N | ≥ \sqrt{3}$ ；

(2)、已知两点 $A_{1} (- 2 ， 0) ， A_{2} (2 ， 0)$ .记直线 $A_{1} M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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