北京市石景山区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 点（5，－3）到直线x＋2＝0的距离等于（）

A、7 B、5 C、3 D、2

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3. 已知 $m ， n$ 是两条不同直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ‖ α ， n ‖ α ，$ 则 $m ‖ n$ B、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，$ 则 $α ‖ β$ C、若 $m ‖ α ， m ‖ β ，$ 则 $α ‖ β$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α ，$ 则 $m ‖ n$

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4. 已知平面 $α$ 的法向量为 $(2 ， - 4 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(- 1 ， 2 ， k)$ ，若 $α ∥ β$ ，则 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 下列双曲线中以 $y = \pm 2 x$ 为渐近线的是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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6. 若 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 0 ， 3)$ ， $\vec{c} = (0 ， 2 ， 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ （）

A、4 B、15 C、7 D、3

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7. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ．过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $△ A B F_{2}$ 的周长为8，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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9. 已知直线 $l ： k x - y + 1 - k = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不能确定

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10. 我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径， E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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二、填空题

11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A D_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - A B C$ 的体积是.

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12. 如果直线 $m^{2} x + y = 0$ 与直线 $x + m y - 1 = 0$ 垂直，那么 $m =$ .

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13. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长是1，则直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的大小为.

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14. $P$ 为抛物线 $y = 2 x^{2}$ 上一动点，当点 $P$ 到直线 $2 x - y - 4 = 0$ 的距离最短时， $P$ 点的坐标是.

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15. 在平面直角坐标系中，到两个定点 $A (0 ， 1)$ 和 $B (0 ， - 1)$ 的距离之积等于2的轨迹记作曲线 $C$ .对于曲线 $C$ ，有下列四个结论：
①曲线 $C$ 是轴对称图形；
②曲线 $C$ 是中心对称图形；
③曲线 $C$ 上所有的点都在单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 内；
④曲线 $C$ 上所有的点的横坐标 $x \in [- 1 ， 1]$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 已知点 $A (1 ， 3)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 0)$ .求：

(1)、BC边上的中线所在直线的方程；

(2)、三角形ABC的面积.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 2 B C$ ，点E为棱PD的中点.

(1)、求证： $C E ∥$ 平面PAB；

(2)、求证： $A D ⊥$ 平面PAB.

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18. 在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $△ O A B$ 的外接圆为圆M，直线l的方程为 $y = k x - 2$ .

(1)、求圆M的方程；

(2)、若直线l与圆M相交于E，F两点， $| E F | = \sqrt{2}$ ，求k的值.

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19. 如图1，在直角梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ .现以 $A D$ 为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使 $E D ⊥ D C$ ， M为线段DE上的动点，如图2.

(1)、求二面角 $C - B E - A$ 的大小；

(2)、设 $\frac{D M}{D E} = λ$ ，若AM所在直线与平面BCE相交，求 $λ$ 的取值范围.

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20. 椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，经过点 $A (0 ， - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点 $M (2 ， 0)$ ， O为坐标原点，证明： $∠ O M P = ∠ O M Q$ .

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