北京市丰台区2021-2022学年高二上学期数学期末练习试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知向量 $\vec{a} =$ ( $-$ 1，1，2)， $\vec{b} =$ (x，2，y)，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、-2 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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4. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，则圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、外离

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点. 若 $\overset{⇀}{A B} = a$ ， $\overset{⇀}{A D} = b$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = c$ ，则 $\vec{A M}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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6. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “正面向上”，则下列说法正确的是（）

A、抛掷硬币10次，事件A必发生5次 B、抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次 C、抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5 D、随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小

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7. 对于随机事件A，B，有下列说法：
①如果 $A$ ， $B$ 相互独立，那么 $P (A B) = P (A) P (B)$ ；②如果 $A$ ， $B$ 对立，那么 $P (B) = 1 - P (A)$ ；③如果 $A$ ， $B$ 互斥，那么 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$ .其中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则点 $E$ 到平面 $B C_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9. 已知A( $-$ 1，0)，B(0，1)两点，点 $C$ 到点(1，0)的距离为1，则 $△$ ABC面积的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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10. 已知椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，双曲线 $N$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ $(m > 0$ ， $n > 0)$ .设椭圆M的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆M的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线N的离心率为 $e_{2}$ ，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 且 $| F_{1} F_{2} | = 2 | P F_{1} |$ ，则 $\frac{e_{1}}{e_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、填空题

11. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{b} =$ (2，1，1)，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ ．

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12. 某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了1000名居民进行调查，其结果如下：
受教育程度
研究生
本科及以下
人数
100
900
现从该社区中随机抽取一人，根据表中数据，估计此人具有研究生学历的概率为．

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13. 已知直线 $l$ 与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 平行，且在 $y$ 轴上的截距为-2，则直线 $l$ 的方程为．

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14. 已知点 $P (2 ， a)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 上，则点 $P$ 到抛物线 $C$ 的焦点的距离为．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ ，过M (m，0) $(m \neq 0)$ 的直线l与抛物线C交于A，B两点.若OA⊥OB，则 $\frac{m}{p} =$ .

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三、解答题

16. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求线段 $A_{1} M$ 的长.

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17. 某学校有4名北京冬奥志愿者，其中2名志愿者（记为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ）只参加语言服务，2名志愿者（记为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ）只参加医疗服务. 现采用不放回简单随机抽样的方法，从这4名志愿者中抽取2人.

(1)、写出这个试验的样本空间；

(2)、求抽取的2人中恰有一人参加语言服务的概率.

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18. 已知圆心坐标为(2，1) 的圆 $C$ 与轴相切.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ ： $x - y + m = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求 $m$ 的值.
条件①： $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ；条件②： $∠ A C B = 120 °$ .
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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19. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x - \sqrt{2}$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{8}{3}$ ，求 $k$ 的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点， $A B = 1$ ， $A D = A P = 2$ .

(1)、求证： $P B$ ∥平面 $A C E$ ；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 的中点，则棱 $P A$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $P C ⊥$ 平面 $E F G$ . 若存在，求线段 $A G$ 的长；若不存在，请说明理由.

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短半轴长为1，焦距为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设椭圆E的右顶点为A，过点P (4，0)且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线 $x = 4$ 交于点M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围

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受教育程度	研究生	本科及以下
人数	100	900