湖北省鄂州市鄂城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - m = 0$ 的一个根是3，则m的值是（）

A、3 B、 $- 3$ C、9 D、 $- 9$

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2. 抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ 的对称轴是直线（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 4 ， 1)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(4 ， - 1)$ B、 $(4 ， 1)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(- 4 ， - 1)$

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4. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知反比例函数的图象经过点 $(- 2 ， 3)$ ，则这个反比例函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{6}{x}$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = - \frac{3}{x}$ D、 $y = - \frac{6}{x}$

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6. 下列说法正确的个数有（）
①方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点 $(1 ， 2)$ ，则这个函数图象位于第二、四象限.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 如图， $⊙ O$ 中的半径为1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ .若 $∠ A = 50 °$ ， $∠ B = 70 °$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ .下列结论：① $a b > 0$ ；② $b - 2 a > 0$ ；③ $4 a + c < 2 b$ ；④ ${(a + c)}^{2} < b^{2}$ ；⑤ $m (a m + b) + b < a (m \neq - 1)$ .其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A B = 2$ .以A为圆心， $A B$ 长为半径画 $\overset{⌢}{B D}$ ，点P为菱形内一点，连 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ .若 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是边 $A C$ 上一动点，连接 $B D$ ，以 $C D$ 为直径的圆交 $B D$ 于点E.若 $A B$ 长为4，则线段 $A E$ 长的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10} - \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 若 $a - b + c = 0$ ，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一个根为.

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12. 若抛物线y＝x²﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是．

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13. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t².飞机着陆后滑行米才能停下来.

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14. 圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的侧面积是 ${cm}^{2}$ .

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15. 如图，已知 $⊙ P$ 的半径为1，圆心P在抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 上运动，当 $⊙ P$ 与x轴相切时，圆心P的横坐标为.

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16. 如图，已知 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上的两点，动点 $P (x ， 0)$ 在x轴正半轴上运动，当 $| A P - B P |$ 达到最大时，点P的坐标是.

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三、解答题

17. 解下列方程：

(1)、 $3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$ ；

(2)、 $3 x (2 x - 1) = 4 x - 2$ .

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18. 如图，在 $4 \times 4$ 的方格纸中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.请完成以下画图并填空.

(1)、在图1中画出一个与 $△ A B C$ 成中心对称的格点三角形；

(2)、在图2中画出一个与 $△ A B C$ 成轴对称且与 $△ A B C$ 有公共边的格点三角形；

(3)、在图3中画出将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 后得到的三角形，其中顶点A在旋转过程中经过的路径长为.（直接填结果）

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19. 落实“双减”政策，丰富课后服务，为了发展学生兴趣特长，梁鄂中学七年级准备开设A（窗花剪纸）、B（书法绘画）、C（中华武术）、D（校园舞蹈）四门选修课程（每位学生必须且只选其中一门），甲、乙两位同学分别随机选择其中一门选修课程参加学习.用列表法或画树状图法求：

(1)、甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率；

(2)、甲、乙选择同一门课程的概率.

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20. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 3 = 0$ 的两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = | x_{1} | + | x_{2} | + x_{1} x_{2}$ ，求m的值.

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21. 学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数 $y = x^{2} - 2 | x | + 1$ 的图象和性质进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示.请根据函数图象完成以下问题：

(1)、观察发现：
①写出该函数的一条性质；

②函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程 $x^{2} - 2 | x | + 1 = 0$ 有个实数根；

(2)、分析思考：
③方程 $x^{2} - 2 | x | + 1 = 1$ 的解为；

④关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 | x | + 1 = m$ 有4个实数根时，m的取值范围是；

(3)、延伸探究：
⑤将函数 $y = x^{2} - 2 | x | + 1$ 的图象经过怎样的平移可以得到函数 $y_{1} = {(x - 1)}^{2} - 2 | x - 1 | + 3$ 的图象，直接写出平移过程.

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A C = B C$ ，E是 $O B$ 的中点，连接 $C E$ 并延长到点F，使 $E F = C E$ ，连接 $A F$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ， $B F$ .

(1)、求证：直线 $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A F$ 长为 $5 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $B D$ 的长.

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23. 绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果.经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数.其销售单价、周销售量及周销售利润w（元）的对应值如表.请根据相关信息，解答下列问题：

销售单价x（元/千克）

40

50

周销售量y（千克）

180

160

周销售利润w（元）

1800

3200

(1)、这种有机生态水果的成本为元/千克；

(2)、求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；

(3)、若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

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24. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $(- 2 ， 5)$ ，且与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 在第二象限交于点A，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B (- 4 ， 0)$ .若P是直线 $O A$ 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴于点C，交 $O A$ 于点D，连接 $O P$ ， $P A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $△ A O P$ 的面积S的最大值；

(3)、连接 $P B$ 交 $O A$ 于点E，如图2，线段 $P B$ 与 $A D$ 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.

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销售单价x（元/千克）	40	50
周销售量y（千克）	180	160
周销售利润w（元）	1800	3200