江苏省扬州市六校联盟2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知点P在半径为1的 $⊙ O$ 上，则（）

A、 $O P < 1$ B、 $O P = 1$ C、 $O P > 1$ D、以上答案都不正确

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2. 若 $3 x = 4 y$ （ $x y \neq 0$ ），下列变形正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{y} = \frac{4}{x}$ C、 $\frac{3}{x} = \frac{4}{y}$ D、 $\frac{x}{4} = \frac{3}{y}$

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3. 二次函数 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， - 5)$ B、 $(- 1 ， 5)$ C、 $(1 ， 5)$ D、 $(- 1 ， - 5)$

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4. 如图，点A，B，C均在 $⊙ O$ 上， $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $53 °$ B、 $54 °$ C、 $55 °$ D、 $56 °$

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5. 如图，已知 $△ A D E ∽ △ A C B$ ，若 $A D = 6$ ， $D E = 4$ ， $B C = 8$ ，则AC的长是（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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6. 用一个圆心角为 $120 °$ ，半径为12的扇形作为一个圆锥的侧面，则该圆锥底面半径为（）

A、 $2.5$ B、4 C、6 D、8

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7. 已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 5$ 图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（）

A、0米到3米 B、5米到8米 C、 $\frac{20}{3}$ 到8米 D、5米到 $\frac{20}{3}$ 米

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8. 如图，在直角坐标系中， $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (- 1 ， t)$ ，以A为位似中心且在点A同侧，把 $△ A B C$ 按相似比 $2 ： 1$ 放大，放大后的图形记作 $△ A B' C'$ ，则 $B C'$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2.5$ D、3

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二、填空题

9. 数据6，3，9，7，1的极差是.

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10. 已知关于x的方程 $x^{2} + 5 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值为.

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11. 若点C是线段AB的黄金分割点， $A C > B C$ ，线段AC的长为2，则 $B C =$ .（保留根号）

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12. 如图，一个转盘，转盘上共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为 $80 °$ ，自由转动转盘，指针落在白色区域的概率是.

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13. 将抛物线y = x²先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的函数表达式是.

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14. 如图， $⊙ O$ 中弦AB长为24，半径 $O C ⊥ A B$ 于点D，若 $C D = 8$ ，则 $⊙ O$ 半径长是.

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15. $A (- 1 ， a)$ ， $B (1 ， b)$ ， $C (4 ， c)$ 三点都在二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + k$ 的图象上，则a，b，c的大小关系为.（用“＜”连接）

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16. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与x轴、y轴分别交于点B、A，点C是x轴上一动点，以C为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的作 $⊙ C$ ，当 $⊙ C$ 与直线AB相切时，点C的坐标为.

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17. 如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是.

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18. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 在 $0 < x \leq 3$ 范围内有且只有一个实数根，则实数m的取值范围是.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$ .

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20. 甲、乙两人在相同的情况下各打靶6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环）：
甲：10，7，8，7，8，8
乙：5，6，10，8，9，10

(1)、甲成绩的众数，乙成绩的中位数.

(2)、计算乙成绩的平均数和方差；

(3)、已知甲成绩的方差是1环，则的射击成绩离散程度较小.（填“甲”或“乙”）

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21. 一张连排休息座椅设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上.

(1)、乙坐在②号座位的概率是.

(2)、用画树状图或列表的方法，求乙与丙相邻而坐的概率.

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22. 在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图.已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = A C$ ，点E、F分别在AB、BC上，且 $∠ E F B = ∠ D$ .

(1)、求证： $△ E F B ∽ △ C D A$ ；

(2)、若 $A E = 6$ ， $A D = 5$ ， $B F = 2$ ，求BE的长.

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24. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ .

(1)、写出它的顶点坐标；

(2)、在下图的直角坐标系中，描出5个整点（横纵坐标均为整数的点）并连线画出的它的图象；

(3)、结合图象回答：
①当 $- 2 < x \leq 1$ 时，y的取值范围是；
②当 $y < 0$ 时，x的取值范围是.

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25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE.

(1)、求证：DE为⊙O的切线；

(2)、若BC＝2，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积.

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26. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段 $B C = 4$ ，使用作图工具作 $∠ B A C = 30 °$ ，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

(1)、小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为；

② $△ A B C$ 面积的最大值为；

(2)、经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为 $A'$ ，请你利用图1证明 $∠ B A' C < 30 °$ .

(3)、请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $A B C D$ 的边长 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 5$ ，点P在直线CD的左侧，且 $∠ D P C = 60 °$ ，则线段PB长的最小值为.

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27. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 3)$ ，连接AC.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、点P是该二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象上位于第一象限内的一点.
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值.
②如图2，过点P作 $P Q ∥ A C$ ，交直线BC于点Q，若 $P Q = \frac{1}{2} A C$ ，求点P的坐标.

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28. 某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元 $/ k g$ ，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元 $/ k g$ ）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（ $k g$ ）与时间t（天）的关系是： $y = - 2 t + 160$ ，天数为整数.

(1)、试求销售单价p（元 $/ k g$ ）与时间t（天）之间的函数关系式；

(2)、哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

(3)、在实际销售的前28天中，公司决定每销售 $1 k g$ 水果就捐赠n元利润（ $n < 6$ ）给“精准扶贫”对象.现发现：在前28天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.

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