黑龙江省哈尔滨市香坊区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知抛物线的解析式为 $y = (x - 3)^{2} + 2$ ，则这条抛物线的顶点坐标是（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(3 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(2 ， 2)$

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3. 如图， $⊙ O$ 中， $∠ A O C = 9 0^{°}$ ，则 $∠ A B C$ 等于（）

A、 $3 5^{°}$ B、 $4 0^{°}$ C、 $4 5^{°}$ D、 $5 0^{°}$

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4. 若反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x}$ 的图像在第一，三象限，则m的取值范围是（）

A、 $m > 0$ B、 $m < 0$ C、 $m > 1$ D、 $m < 1$

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5. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角 $∠ O A B = 6 5^{°}$ ，则这幢大楼的高度为（）

A、 $30 \cdot s i n 6 5^{°}$ 米 B、 $\frac{30}{c o s 6 5^{°}}$ 米 C、 $30 \cdot t a n 6 5^{°}$ 米 D、 $\frac{30}{t a n 6 5^{°}}$ 米

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6. 将抛物线 $y = x^{2} - 1$ 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x + 2)^{2} + 2$ C、 $y = (x + 2)^{2} + 1$ D、 $y = (x - 2)^{2} + 2$

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7. 身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（）

A、185cm B、180cm C、170cm D、160cm

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8. 如图，将 $R t Δ A B C$ 绕点A按顺时针旋转一定角度得到 $R t Δ A D E$ ，点B的对应点点D恰好落在边 $B C$ 上，若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 6 0^{°}$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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9. 如图点 $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点，直线 $B F$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{E D}{E A} = \frac{D F}{A B}$ B、 $\frac{E D}{B C} = \frac{E F}{B F}$ C、 $\frac{B F}{B E} = \frac{B C}{A E}$ D、 $\frac{B C}{D E} = \frac{B F}{B E}$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中的y与x的部分对应值如下表所示．
$x$
…
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
$- 5$
1
3
1
…
根据表中的信息，给出下列四个结论：
①抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ；
②抛物线的顶点坐标是 $(1 ， 3)$ ；
③当 $x = 3$ 时，y的值为 $- 3$ ；
④若点 $A (- 2 ， y_{1})$ ，点 $B (- 3 ， y_{2})$ 两个点都在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ ．
其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 函数 $y = \frac{5}{x - 3}$ 中自变量x的取值范围是．

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12. 计算： $\sqrt{18} + \sqrt{8} =$ ．

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ 3 x - 2 < 0 \end{array}$ 的解集为.

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14. 在平面直角坐标系中，与点 $P (3 ， 1)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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15. 若弧长为 $2 π$ 的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为．

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16. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为．

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17. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $∠ A B C = 6 0^{°}$ ， $A C = 7$ ，则 $Δ A B C$ 的面积是．

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18. 如图，矩形 $O A B C$ ，对角线 $O B$ 与双曲线 $y = \frac{18}{x}$ 交于点D，若 $O D ： O B = 3 ： 5$ ，则矩形 $O A B C$ 的面积为．

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19. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 上一点， $B D = 4 A D$ ，连接 $C D$ ， $∠ B C D = 4 5^{°}$ ， $A C = \frac{13}{2}$ ，则 $B C$ 的长为．

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点H， $C D = 8$ ， $O A = 5$ ，则 $A H$ 的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}) \cdot (a - 1)$ 的值，其中 $a = t a n 6 0^{°} - 2 s i n 3 0^{°}$ ．

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22. 如图所示，在 $7 \times 6$ 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段 $A B$ 的端点 $A$ 、 $B$ 均在小正方形的顶点上．

(1)、在方格纸中画出等腰 $Δ A B C$ ，点C在小正方形的顶点上， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{25}{2}$ ；

(2)、在方格纸中画出以 $A B$ 为斜边的 $R t Δ A B D$ ，点D在小正方形顶点上， $t a n ∠ D B A = 2$ ，连接 $C D$ ，并直接写出 $C D$ 的长．

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23. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， $A C = B C$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、将直线 $O A$ 向上平移m个单位后经过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上的点 $(3 ， n)$ ，分别求m与n的值．

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24. 已知：在 $Δ A B C$ 中，点D、点E、点F分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，连接 $D E$ 、 $D F$ ．

(1)、如图1，若 $A C = B C$ ，求证：四边形 $D E C F$ 为菱形；

(2)、如图2，过 $C$ 作 $C G ∥ A B$ 交 $D E$ 延长线于点G，连接 $E F$ ， $A G$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 $Δ A D G$ 面积相等的平行四边形．

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25. 某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的 $\frac{3}{2}$ 倍．

(1)、求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

(2)、甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？

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26. 已知： $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径，四边形 $A C D E$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形，分别连接 $B E$ 、 $A D$ ， $B E$ 交 $A C$ 于点H，且 $A E = C D$ ．

(1)、如图1，求证： $B E ⊥ A C$ ；

(2)、如图2，延长 $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 交 $A D$ 于点G，连接 $C E$ ，求证： $∠ B G D = ∠ F E C$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下， $A C$ 交 $B D$ 于点M，若 $D G = E F$ ， $t a n ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $E G = 2 \sqrt{3}$ ，求 $O M$ 的长．

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27. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - \frac{15}{4}$ 与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D在第三象限的抛物线上，直线 $y = - \frac{3}{2} x - \frac{15}{2}$ 经过点A、点D，点D的横坐标为 $- 3$ ．

(1)、如图1，求抛物线的解析式；

(2)、如图2，直线 $A D$ 交y轴于点T，过点D作 $D P ⊥ y$ 轴，交y轴于点H，交抛物线于点P，过点P作 $P Q ⊥ A D$ ，交直线 $A D$ 于点Q，求线段 $P Q$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，点F在 $O A$ 上，直线 $P F$ 交 $O C$ 于点G， $F G = 2 P G$ ，点M在第二象限，连接 $P M$ 交 $O G$ 于点E，连接 $M F$ ， $t a n ∠ M F O = 2$ ， $\frac{F M}{E G} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ，点R在 $G F$ 的延长线上，点N在直线 $M R$ 上，且点N的横坐标为5，连接 $P N$ ， $P N = N R$ ，求点N的纵坐标．

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$x$	…	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$- 5$	1	3	1	…