北京市石景山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 25的平方根是（　　）

A、5 B、-5 C、± $\sqrt{5}$ D、±5

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2. 下列各式从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{3 x^{2}}{6 x} = \frac{x}{2}$ B、 $\frac{n}{m} = \frac{n + 1}{m + 1}$ C、 $\frac{n}{m} - \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m n}$ D、 $\frac{n}{m} = \frac{n^{2}}{m^{2}}$

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3. 如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．
以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）．

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{20} \div \sqrt{10} = 2$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$

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5. 下列说法正确的是（）．

A、“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件 B、“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件 C、“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件 D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次

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6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ${(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{b^{2}}$ 的结果是（）．

A、 $- a + b$ B、 $- a - b$ C、 $a + b$ D、a-b

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7. 如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 110 °$ ， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 $∠ F A D$ 的度数为（）．

A、20° B、30° C、35° D、70°

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二、填空题

9. 要使代数式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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10. 有下列命题：①可以在数轴上表示无理数 $\sqrt{3}$ ；②若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ ；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为（填序号）．

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11. 已知三角形的两边长为3，5，则第三边的长度可以是（写出一个即可）．

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12. 如图，点C是线段AB的中点， $D A ∥ E C$ ．请你只添加一个条件，使得 $△ D A C$ ≌ $△ E C B$ ．

(1)、你添加的条件是；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

(2)、依据所添条件，判定 $△ D A C$ 与 $△ E C B$ 全等的理由是．

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13. 计算： $(2 \sqrt{3} + \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})$ 的结果是．

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14. 若 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，则代数式 $(x - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2}}{x - 1}$ 的值是．

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15. 如图，点D是 $∠ A O B$ 的平分线OC上一点，过点D作 $D E ∥ O B$ 交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DEOE（填“＞”或“＝”或“＜”）．

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16. 如图，在 $R t △ O A_{1} A_{2}$ 中， $∠ A_{1} = 90 °$ ， $A_{2} A_{1} = O A_{1} = 1$ ，以 $O A_{2}$ 为直角边作等腰直角 $△ O A_{2} A_{3}$ ，再以 $O A_{3}$ 为直角边作等腰直角 $△ O A_{3} A_{4}$ ， …，按照此规律作图，则 $O A_{4}$ 的长度为， $O A_{n}$ 的长度为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{27} - \sqrt[3]{8} + | \sqrt{3} - 1 | + {(- \sqrt{3})}^{2}$ ．

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18. 计算： ${(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{2} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ ．

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19. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点D是 $△ A C B$ 内一点，连接CD，过点C作 $C E ⊥ C D$ 且 $C E = C D$ ，连接AD，BE．求证： $A D = B E$ ．

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20. 计算： $\frac{2 x - 3}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ ．

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21. 下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得 $P Q ⊥ l$ ．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵ $Q A =$ ， $P A = P B$ ，
∴ $P Q ⊥ l$ （）（填推理的依据）．

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22. 已知 $x = 2 - \sqrt{2}$ ，求代数式 $(2 + \frac{10}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - 4}{x - 3}$ 的值．

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23. 解分式方程： $\frac{x - 1}{x} + \frac{3}{x + 2} = 1$ ．

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ． AD平分 $∠ C A B$ 交BC于点D．

(1)、求BC的长；

(2)、求CD的长．

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25. 列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？

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26. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1)、具体运算，发现规律．
特例1： $\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ ，
特例2： $\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 - 2}{5}} = \sqrt{\frac{2 \times (5 - 1)}{5}} = 2 \sqrt{\frac{2}{5}}$ ，
特例3： $\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{3 \times 10 - 3}{10}} = \sqrt{\frac{3 \times (10 - 1)}{10}} = 3 \sqrt{\frac{3}{10}}$ ，
特例4： $\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = 4 \sqrt{\frac{4}{17}}$ ，
特例5： $\sqrt{5 - \frac{5}{26}} =$ （填写运算结果）．

(2)、观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

(3)、证明你的猜想．

(4)、应用运算规律．
①化简： $\sqrt{10 - \frac{10}{101}} \times \sqrt{\frac{202}{5}} =$ ；
②若 $\sqrt{a - \frac{a}{50}} = 7 \sqrt{\frac{7}{b}}$ （a，b均为正整数），则 $a + b$ 的值为．

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27. 点P为等边 $△ A B C$ 的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

(1)、如图1，若 $B P = A B = 2$ ，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；

(2)、如图2，线段AD交PC于点E，
①设 $∠ B C P = α$ ，求 $∠ A E C$ 的度数；
②求证： $A E = C E + D E$ ．

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28. 在 $R t Δ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 6$ ，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线 $l ⊥ C B$ 交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在 $△ A C B$ 的边上，则称点M是 $△ A C B$ 的关于直线l的“反称点”．
例如，图1中的点M是 $△ A C B$ 的关于直线l的“反称点”．

(1)、如图2，若 $C P = 1$ ，点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ ， $M_{4}$ 在AC边上且 $A M_{1} = 1$ ， $A M_{2} = 2$ ， $A M_{3} = 4$ ， $A M_{4} = 6$ ．在点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ ， $M_{4}$ 中，是 $△ A C B$ 的关于直线l的“反称点”为；

(2)、若点M是 $△ A C B$ 的关于直线l的“反称点”，恰好使得 $△ A C N$ 是等腰三角形，求AM的长；

(3)、存在直线l及点M，使得点M是 $△ A C B$ 的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．

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