北京市平谷区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若最简二次根式 $\sqrt{a + 1}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 a}$ 是同类二次根式，则a的值是（）

A、a＝1 B、a＝－1 C、a＝2 D、a＝－2

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3. 下列分式中最简分式是（）

A、 $\frac{2 x + 4}{6 x + 8}$ B、 $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ C、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$ D、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

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4. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、45° B、60° C、75° D、85°

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5. 下列事件中，属于随机事件的是（）

A、用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 B、用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 C、如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等 D、有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等

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6. 等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（）

A、50° B、80° C、50°或80° D、100°或80°

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7. 下列命题是假命题的是（）

A、直角三角形两锐角互余 B、有三组对应角相等的两个三角形全等 C、两直线平行，同位角相等 D、角平分线上的点到角两边的距离相等

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8. 如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x - 2}{2 x + 1}$ 的值为零，则x的值等于．

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10. $\sqrt{16}$ 的算术平方根是

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11. 如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论．

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12. 比较大小： $2 \sqrt{2}$ $3$ （填 “>”、“=”或“<”）．

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13. 只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数，我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从3，5，7，11，13，23这6个质数中随机抽取一个，则抽到个位数是3的可能性是．

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14. 如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如果BC＝2，那么点C到AB的距离为．

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15. 已知a，b 是有理数，且满足 ${(a b - 2)}^{2} + \sqrt{b + 1} = 0$ ，那么a＝， b ＝．

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16. 如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以C、D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线OP．
如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} + {(3.14 - π)}^{0} - \sqrt[3]{27} + | \sqrt{3} - 2 |$

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18. 计算： $\sqrt{8} \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$

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19. 计算： $(\frac{1}{a - 1} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 2 a + 1}$

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20. 已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．

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21. 解分式方程：

(1)、 $\frac{2}{x - 1} = \frac{1}{x + 1}$

(2)、 $1 + \frac{6}{x^{2} - 9} = \frac{x}{x - 3}$

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22. 已知：如图△ABC
求作：点P，使得点P在AC上，且PC＝PB．
作法：
①分别以B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；
②作直线 MN，与AC交于P点，与BC交于H．

(1)、利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵BM＝CM，BN＝CN，
∴M、N在线段BC的垂直平分线上．（ ▲ ）（填推理的依据）
即MN是AB的垂直平分线．
∴点P在直线MN上．
∴PC＝PB．（ ▲ ）（填推理的依据）

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23. 先化简，再代入求值： $\frac{x^{2}}{x - 2} \cdot (\frac{4}{x} + x - 4)$ ，其中 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$

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24. 在《开学第一课》中，东京奥运会的奥运健儿们向新开学的同学们送上了“希望你们能像运动员一样，努力奔跑，刻苦学习，实现你们的梦想”的祝福．为了提高学生的体育锻炼的意识和能力，丰富学生的体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲乙两种跳绳的单价各是多少元？

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25. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： $\sqrt{b^{2}} - | a - b | + \sqrt{{(c - a)}^{2}} - | c |$

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26. 针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD 平分∠CAB，交BC 边于点 D，且CD＝BD，
求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形

(1)、对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）；

A、两人都正确 B、甲正确，乙错误 C、甲错误，乙正确

(2)、选择一种你认为正确的作法，并证明．

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27. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 $D$ 直线 $B C$ 上（与点 $B$ ， $C$ 不重合），点 $D$ 关于直线 $A C$ 的对称点为点 $E$ ，连接 $A D$ ， $A E$ ， $D E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 为线段 $B C$ 的中点时，猜想： $△ A D E$ 的形状并证明；

(2)、当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，连接 $B E$ 、 $C E$ 、 $D E$ ．
①根据题意在图2中补全图形；
②用等式表示线段 $B E$ 、 $C D$ 、 $B C$ 的数量关系，并证明．

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28. 我们已经学过 $(x - a) (x - b) = x^{2} - (a + b) x + a b ，$ 如果关于x的分式方程满足
$x + \frac{a b}{x} = a + b$ （a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为 $x_{1} = a ， x_{2} = b$ ．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如： $x + \frac{2}{x} = 3$ 可化为 $x + \frac{1 \times 2}{x} = 1 + 2 = 3$ ∴ $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2$
再如： $x + \frac{6}{x} = - 5$ 可化为 $x + \frac{(- 2) \times (- 3)}{x} = - 2 - 3 = - 5$ ∴ $x_{1} = - 2 ， x_{2} = - 3$
应用上面的结论解答下列问题：

(1)、“十字方程” $x + \frac{8}{x} = - 6$ ，则 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ ；

(2)、“十字方程” $x - \frac{2}{x} = - 1$ 的两个解分别为 $x_{1} = a ， x_{2} = b$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值；

(3)、关于 $x$ 的“十字方程” $x + \frac{n^{2} + n}{x - 3} = 2 n + 4$ 的两个解分别为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1} + 1}$ 的值．

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