北京市海淀区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（）

A、 $30 \times 1 0^{- 3}$ B、 $3 \times 1 0^{- 6}$ C、 $3 \times 1 0^{- 5}$ D、 $0.3 \times 1 0^{- 4}$

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3. 下列变形中是因式分解的是（）

A、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{2} + x y - 3 = x (x + y) - 3$ D、 $x^{2} + 6 x + 4 = {(x + 3)}^{2} - 5$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $(3 a^{3})^{2} = 9 a^{6}$ B、 $a^{3} + a^{2} = 2 a^{5}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$

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5. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是BC边上一点， $D E ⊥ A C$ 于点E．若 $E C = 3$ ，则DC的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 下列变形正确的是（）

A、 $\frac{y}{x} = \frac{y + 3}{x + 3}$ B、 $\frac{y}{x} = \frac{- y}{- x}$ C、 $\frac{y}{x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$ D、 $\frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

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7. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ，点E在线段AB上， $∠ B = 75 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、40°

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8. 某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (2 ， 4)$ 与点B关于y轴对称，则点B的坐标是．

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11. 分解因式：3a²﹣12= ．

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12. 若 $x = 4$ 是关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x - m}{x - 3} = 3$ 的解，则 $m$ 的值为．

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13. 若等腰三角形的一个外角为40°，则它的顶角的度数为.

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14. 在○处填入一个整式，使关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + ◯ + 1$ 可以因式分解，则○可以为．（写出一个即可）

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD为BC边上的中线， $C E ⊥ A B$ 于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分 $∠ A B C$ ， $E F = 2$ ， $B C = 8$ ，则 $△ C D F$ 的面积为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则 $∠ A E G$ 的度数为°．

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三、解答题

17. 计算： ${(- π)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2^{8} \div 2^{6}$ ．

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18. 化简： ${(x - 2)}^{2} + (x + 3) (x + 1)$ ．

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19. 化简： $[(x + 3 y) (x - 3 y) - x^{2}] \div (9 y)$ ．

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20. 解分式方程： $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$ ．

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21. 如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得 $C D ⊥ A B$ ．
小欣的作法如下：
①以点B为圆心，BC长为半径作弧；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；
③作直线CD．
则直线CD即为所求．

(1)、根据小欣的作图过程补全图形；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接AC，AD，BC，BD．
∵ $B C = B D$ ，
∴点B在线段CD的垂直平分线上．（ ▲ ）（填推理的依据）
∵ $A C =$ ▲ ，
∴点A在线段CD的垂直平分线上．
∴直线AB为线段CD的垂直平分线．
∴ $C D ⊥ A B$ ．

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22. 在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中 $△ A B C$ 是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与 $△ A B C$ 成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．

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23. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．

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24. 已知 $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ ，求代数式 $(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{1}{a^{2} - a}$ 的值．

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25. 列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？

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26. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ ，给出如下定义：若P为 $△ A B C$ 内（不含边界）一点，且AP与 $△ B C P$ 的一条边相等，则称P为 $△ A B C$ 的友爱点．

(1)、在 $P_{1} (0 ， 3)$ ， $P_{2} (- 1 ， 1)$ ， $P_{3} (- 2 ， 1)$ 中， $△ A B C$ 的友爱点是；

(2)、如图2，若P为 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A B = ∠ P C B = 15 °$ ，求证：P为 $△ A B C$ 的友爱点；

(3)、直线l为过点 $M (0 ， m)$ ，且与 $x$ 轴平行的直线，若直线 $l$ 上存在 $△ A B C$ 的三个友爱点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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27. 在分式 $\frac{N}{M}$ 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时， $b = 0$ ），则称分式 $\frac{N}{M}$ 为 $(a - b)$ 次分式．例如， $\frac{x + 1}{x^{4} - x^{3}}$ 为三次分式．

(1)、请写出一个只含有字母 $x$ 的二次分式；

(2)、已知 $A = \frac{m x + 2}{x - 3}$ ， $B = \frac{n x + 3}{x^{2} - 9}$ （其中m，n为常数）．
①若 $m = 0$ ， $n = - 5$ ，则 $A \cdot B$ ， $A + B$ ， $A - B$ ， $A^{2}$ 中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 $2 m + n$ 的值．

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28. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．

(1)、如图1，当 $∠ B A C = 50 °$ 时，则 $∠ A E D =$ °；

(2)、当 $∠ B A C = 60 °$ 时，
①如图2，连接AD，判断 $△ A E D$ 的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足 $∠ C F D = ∠ C A E$ ． P为直线CF上一动点．当 $P E - P D$ 的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 ▲ ，并证明．

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