北京市房山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x < 2$

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2. 下列各式中，正确的是（）

A、 $\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{a^{2} - 4}{{(a - 2)}^{2}}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{b + 2}{a + 2}$ C、 $\frac{b}{a + 2 b} = \frac{1}{a + 2}$ D、 $\frac{- a + b}{c} = - \frac{a + b}{c}$

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3. 某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 如图，已知 $∠ A C D$ 为 $△ A B C$ 的外角， $∠ A C D = 60 °$ ， $∠ B = 20 °$ ，那么 $∠ A$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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5. 利用直角三角板，作 $△ A B C$ 的高，下列作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，线段AE、BD交于点C， $A B = D E$ ，请你添加一个条件，使得 $△ A B C ≌ △ E D C$ ．你的选择是（）

A、 $A B ∥ D E$ B、 $A C = E C$ C、 $B C = D C$ D、 $∠ A C B = ∠ E C D$

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7. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字。下图为甲骨文对照表中的部分文字，若把它们抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）

A、时 B、康 C、黄 D、奚

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8. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 的值为0，则x的值是．

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10. 若一个等腰三角形的两边长分别为 $4 cm$ 和 $9 cm$ ，则这个等腰三角形的周长是 $cm$ ．

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11. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A'B'的长度即可，该做法的依据是．

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12. 如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角 $∠ A B C$ （ $∠ A B C = 90 °$ ），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC” ．已知 $A B = 30$ 米， $B C = 40$ 米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．

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13. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，小健通过统计数据了解到：从2002年到2018年的五届冬奥会上，中国队每届比赛均有金牌入账，共斩获了13枚金牌，于是，小健对同学们说：“2022年北京冬奥会中国队获得2枚以上金牌的可能性大小是100%”．你认为小健的说法（填“合理”或“不合理”）理由是．

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14. $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且 $R_{1} + R_{2} \neq 0$ ．用 $R_{1} ， R_{2}$ 表示R，则R＝

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上，且 $B F = C D$ ， $B D = C E$ ， $∠ F D E = α$ ，则 $∠ A$ 的度数是．（用含 $α$ 的代数式表示）

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16. 等边 $△ A B C$ 的边长为2，P，Q分别是边AB，BC上的点，连结AQ，CP交于点O．以下结论：①若 $A P = B Q$ ，则 $∠ A O P = 60 °$ ；②若 $A Q = C P$ ，则 $∠ A O C = 120 °$ ；③若点P和点Q分别从点A和点C同时出发，以相同的速度向点B运动（到达点B就停止），则点O经过的路径长为 $\sqrt{3}$ ，其中正确的是（序号）．

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三、解答题

17. 计算： $\frac{y}{3 x^{2}} - \frac{1}{6 x y}$

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18. 计算： $\sqrt{18} - \sqrt[3]{27} + \sqrt{12} \div \sqrt{6} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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19. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.

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20. 已知 $m^{2} + 3 m - 4 = 0$ ，求代数式 $(m + 2 - \frac{5}{m - 2}) \div \frac{m - 3}{m^{2} - 2 m}$ 的值.

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21. 解分式方程： $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = 1$ ．

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22. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且 $△ A B C$ 为等腰三角形，请你在如下 $6 \times 3$ 的网格中找到所有符合条件的点C（可以用 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ……表示），并画出所有三角形．

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23. 王宇同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）．
已知一条线段AB，分别以点A、B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段AB上方），作 $∠ A C B$ 的角平分线交AB与D．
由作图可知 $A B = C A = B C$
∴ $△ A B C$ 是                  ▲   三角形
∴ $∠ A C B = 60 °$ （                  ▲   ）
∵CD平分 $∠ A C B$
∴CD垂直平分AB（                  ▲   ）
$∠ D C B = \frac{1}{2} ∠ A C B = 30 °$
∴ $∠ C D B = 90 °$ ， $B D = \frac{1}{2} A B$
又∵ $B D = \frac{1}{2} B C$
即在 $R t △ D B C$ 中， $∠ B D C = 90 °$ ， $∠ D C B = 30 °$ ，则 $B D = \frac{1}{2} B C$ ．

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24. 为了营造“创建文明城区、共享绿色家园”的良好氛围，房山某社区计划购买甲、乙两种树苗进行社区绿化，已知用1200元购买甲种树苗与用1000元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少20元，问甲种树苗每棵多少元？

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25. 口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．

(1)、先从袋子里取出m（ $m \geq 1$ ）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，请直接写出m的值．
②如果事件A是随机事件，请直接写出m的值．

(2)、先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是 $\frac{4}{5}$ ，求m的值．

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26. 如图， $△ A B C$ 中，CD平分 $∠ A C B$ ， $D E ⊥ A B$ 且E为AB的中点， $D M ⊥ B C$ 于M， $D N ⊥ A C$ 于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．

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27. 数学课上，老师出示了一个题：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $A B = 13$ ， $∠ C A B$ 的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．

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28. 如图， $∠ A O B = 60 °$ ，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足 $O C = 4$ ．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．

(1)、根据题意完成作图；

(2)、猜想DF的长并证明；

(3)、若点M在射线OC上，且满足 $O M = 3$ ，直接写出线段ME的最小值．

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