上海市长宁区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘} ， ∠ A = α ， A B = c$ ，那么 $B C$ 的长为（）

A、 $c \cdot s i n α$ B、 $c \cdot t a n α$ C、 $\frac{c}{c o s α}$ D、 $c \cdot c o t α$

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2. 如果向量 $\overset{⇀}{a}$ 与向量 $\overset{⇀}{b}$ 方向相反，且 $3 | \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ ，那么向量 $\overset{⇀}{a}$ 用向量 $\overset{⇀}{b}$ 表示为（）

A、 $\overset{⇀}{a} = 3 \overset{⇀}{b}$ B、 $\overset{⇀}{a} = - 3 \overset{⇀}{b}$ C、 $\overset{⇀}{a} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{b}$ D、 $\overset{⇀}{a} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{b}$

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3.
如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（　　）

A、2 B、4 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{36}{5}$

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4. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ (其中 $a > 0 、 b < 0 、 c > 0$ ) 一定不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 下列命题中，说法正确的是（）

A、所有菱形都相似 B、两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍 D、斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

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6. 如图，点 E 是线段 $B C$ 的中点， $∠ B = ∠ C = ∠ A E D$ ，下列结论中，说法错误的是（）

A、 $△ A B E$ 与 $△ E C D$ 相似 B、 $△ A B E$ 与 $△ A E D$ 相似 C、 $\frac{A B}{A E} = \frac{A E}{A D}$ D、 $∠ B A E = ∠ A D E$

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二、填空题

7. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ ，那么 $\frac{2 x}{x + y}$ 的值为．

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8. 抛物线 $y = 2 x^{2} - 1$ 的顶点坐标是．

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9. 在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地A、B的实际距离为米．

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10. 已知点 C 是线段 $A B$ 的黄金分割点，㓚果 $A C > B C ， B C = 2$ ，则 $A C =$ ．

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11. 如果两个相似三角形周长之比为 $3 ： 2$ ，那么这两个三角形的面积之比为．

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12. 点 G 是 $△ A B C$ 的重心，过点 G 作 $B C$ 边的平行线与 $A B$ 边交于点 E 与 $A C$ 边交于点 F，则 $\frac{E F}{B C} =$ ．

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13. 如图，小明沿着坡度 $i = 1 ： 2.4$ 的坡面由 B 到 A 直行走了 13 米时，他上升的高度 $A C =$ 米．

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14. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2 (a b > 0)$ 与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，若 $A B = 2$ ，则点B坐标为．

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15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何?”示意图如图，正方形 $A B C D$ 中， $F 、 G$ 分别是 $A D$ 和 $A B$ 的中点，若 $E F ⊥ A D ， E F = 30 ， G H ⊥ A B ， G H = 750$ ，且 $E H$ 过点A，那么正方形 $A B C D$ 的边长为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， t a n ∠ B A C = \frac{3}{2} ， C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，点E是直线 $A C$ 左侧一点，联结 $A E 、 C E 、 E D$ ，若 $E C ⊥ C D ， ∠ E A C = ∠ B$ ，则 $\frac{S_{△ C D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值为．

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17. 定义：在 $△ A B C$ 中，点 D 和点 E 分别在 $A B$ 边、 $A C$ 边上，且DE//BC，点 D 点 E 之间距离与直线 $D E$ 与直线 $B C$ 间的距离之比称为 $D E$ 关于 $B C$ 的横纵比. 已知，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， B C$ 上的高长为 $3 ， D E$ 关于 $B C$ 的横纵比为 $2 ： 3$ ，则 $D E =$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘} ， A C = B C = 3$ ，点 $D 、 E$ 分别在 $A C$ 边和 $A B$ 边上，沿着直线 $D E$ 翻折 $△ A D E$ ，点 A 落在 $B C$ 边上，记为点 F，如果 $C F = 1$ ，则 $B E =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $c o t 3 0^{∘} - \frac{2 s i n 6 0^{∘} - t a n 4 5^{∘}}{s i n 3 0^{∘} + c o s^{2} 4 5^{∘}}$ .

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20. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0 ， 3) ， B (- 1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)、填空：如果将该拋物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是平移后的抛物线表达式是．

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21. 如图，在梯形 $A B C D$ 中，AB//CD，且 $A B ： C D = 3 ： 2$ ，点 E 是边 $C D$ 的中点，联结 $B E$ 交对角线 $A C$ 于点 F，若 $\vec{A B} = m ， \vec{A D} = n$ ．

(1)、用 $m 、 n$ 表示 $\vec{A C} 、 \vec{A F}$ ；

(2)、求作 $\bar{B F}$ 在 $\vec{B A} 、 \vec{B C}$ 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

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22. 如图，某种路灯灯柱 $B C$ 垂直于地面，与灯杆 $A B$ 相连. 已知直线 $A B$ 与直线 $B C$ 的夹角是 $7 6^{∘}$ .在地面点D处测得点A的仰角是 $5 3^{∘}$ ，点B仰角是 $4 5^{∘}$ ，点 A 与点D之间的距离为 $3.5$ 米．

求：

(1)、点 A 到地面的距离；

(2)、 $A B$ 的长度．（精确到 $0.1$ 米）
（参考数据： $s i n 5 3^{∘} \approx 0.8 ， c o s 5 3^{∘} \approx 0.6 ， s i n 7 6^{∘} \approx 0.97 ， c o s 7 6^{∘} \approx 0.24$ ）

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23. 如图，线段 $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点E点 F 分别在线段 $B D 、 A C$ 的延长线上，联结 $A E 、 B F$ ，且 $A B \cdot B D = B C \cdot B E$ ．

(1)、求证： $A D = A E$ ；

(2)、如果 $B F = D F$ ，求证： $A F \cdot C D = A E \cdot D F$ ．

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24. 抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 与x 轴相交于 $A 、 B$ 两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，其顶点D的纵坐标为 4．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、求 $∠ A C B$ 的正切值；

(3)、点F在线段 $C B$ 的延长线上，且 $∠ A F C = ∠ D A B$ ，求 $C F$ 的长．

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25. 已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 8$ ，点 E 是射线 $C A$ 上的动点，点 O 是边 $B C$ 上的动点，且 $O C = O E$ ，射线 $O E$ 交射线 $B A$ 于点 D．

(1)、如图 1，如果 $O C = 2$ ，求 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ O D B}}$ 的值；

(2)、联结 $A O$ ，如果 $△ A E O$ 是以 $A E$ 为腰的等腰三角形，求线段 $O C$ 的长；

(3)、当点E在边 $A C$ 上时，联结 $B E 、 C D ， ∠ D B E = ∠ C D O$ ，求线段 $O C$ 的长．

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