山西省运城市盐湖区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. $t a n 30 °$ 的相反数是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，则代数式 $2 a - b$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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3. 如图所示的物体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若将抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）

A、 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ B、 $y = 2 (x + 1)^{2} - 2$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 3$

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5. 某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 对于二次函数 $y = - (x - 1)^{2}$ 的图象，下列说法错误的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = 1$ C、顶点坐标为（1，0） D、当 $x < 1$ 时，y随x的增大而减小

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7. 如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛 $40 \sqrt{2}$ 海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东 $60 °$ 的B处，则该船行驶的路程为（）

A、80海里 B、120海里 C、 $(40 + 40 \sqrt{2})$ 海里 D、 $(40 + 40 \sqrt{3})$ 海里

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8. 关于x的方程 $a x^{2} + (1 - a) x - 1 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，方程无实数根 B、当 $a = - 1$ 时，方程只有一个实数根 C、当 $a = 1$ 时，有两个不相等的实数根 D、当 $a \neq 0$ 时，方程有两个相等的实数根

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9. 如图，在 $3 \times 3$ 的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则 $t a n ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的对称轴为直线 $x = 1$ ，其图象如图所示，现有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $4 a - 2 b + c < 0$ ；④ $a + b ⩾ m (a m + b)$ ；⑤ $2 c < 3 b$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米，则旗杆AB的高度是米．

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12. 已知函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} + 1}$ 是二次函数，则m＝.

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13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若 $O E = 2$ ，则菱形的周长为．

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14. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为．

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15. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则 $△ D F G$ 面积的最小值为．

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三、解答题

16. 解答题

(1)、计算： $(\frac{1}{2})^{- 1} - 2 t a n 45 ° + 2 s i n 60 ° - | 1 - \sqrt{3} |$ ．

(2)、如图，在菱形ABCD中， $D E ⊥ A B$ 于点E， $B E = 8$ ， $s i n A = \frac{12}{13}$ ，求菱形的边长．

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17. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=4， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，∠A=30°.

(1)、请求出线段AD的长度.

(2)、请求出 $sin C$ 的值.

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18. 如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角 $∠ H A C$ 为 $118 °$ 时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据： $s i n 28 ° \approx 0.47$ ， $c o s 28 ° \approx 0.88$ ， $t a n 28 ° \approx 0.53$ ）

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19. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (m ， 8) ， B (4 ， n)$ 两点，连接 $O A ， O B$ .

(1)、求一次函数的表达式.

(2)、求 $△ A O B$ 的面积.

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在 $B C$ 的延长线上， $A P ， D E$ 交于点 $G ， A P ， C D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A D \cdot C F = C P \cdot D F$ .

(2)、若 $D F = 2 C F ， A B = 6$ ，求 $D G$ 的长.

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21. 某企业生产了一套健身器材，通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y₁（套）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如下表：
时间x（天）
0
5
10
15
20
25
30
日销售量y₁（套）
0
25
40
45
40
25
0

(1)、已知y₁与x满足二次函数关系，求y₁与x的函数关系式．

(2)、网上商店的日销售量y₂（套）与时间x（x为整数，单位：天）的关系如图所示，求y₂与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．

(3)、在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y（套），求当x为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．

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22. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2 $\sqrt{3}$ ， 2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．

(1)、当点D运动到OA的中点处时，求PC²+PD²的值．

(2)、在运动过程中，∠CDP的度数是否为一个定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．

(3)、当 $△$ ODP为等腰三角形时，请求出点D的坐标．

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23. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $B (4 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 0)$ 两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作 $A Q ⊥ P Q$ 于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、如图1，若 $△ A Q P ∽ △ A O C$ ，求点P的坐标．

(3)、如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将 $△ A P Q$ 沿AP对折，点Q的对应点为 $Q'$ ，当点 $Q'$ 落在x轴上时，求点P的坐标．

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时间x（天）	0	5	10	15	20	25	30
日销售量y₁（套）	0	25	40	45	40	25	0

x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…