吉林省长春市宽城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（）

A、-2.5 B、-1.5 C、-0.5 D、1.5

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2. 第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（）

A、0.21836×10⁹ B、2.1386×10⁷ C、21.836×10⁷ D、2.1836×10⁸

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3. 如图是一个小正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“党”字一面的相对面上的字是（）

A、喜 B、迎 C、百 D、年

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4. 如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为 $x$ 米，根据题意可列方程为（）

A、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $35 x + 2 \times 20 x - 2 x^{2} = 600$

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5. 图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $O A B C$ ．若 $A B = B C = 1$ ， $∠ A O B = α$ ，则 $t a n ∠ B O C$ 的值为（）

A、 $s i n α$ B、 $c o s α$ C、 $t a n α$ D、 $\frac{1}{s i n α}$

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6. 如图，在圆内接五边形 $A B C D E$ 中， $∠ C + ∠ C D E + ∠ E + ∠ E A B = 425 °$ ，则 $∠ C D A$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $65 °$ C、 $55 °$ D、 $45 °$

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7. 如图， $△ A B C$ 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 $(1 ， 0)$ ，以点C位似中心，在x轴的下方作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A' B' C$ ，并把 $△ A B C$ 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 $B'$ 的横坐标是（）

A、 $- 2 a$ B、 $2 a - 2$ C、 $3 - 2 a$ D、 $2 a - 3$

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8. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线 $y = b$ 与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（）

A、0 B、-3 C、-4 D、-5

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二、填空题

9. 分解因式 $2 a^{2} - 4 a b + 2 b^{2} =$ ．

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ 2 x < 3 \end{array}$ 的解集为．

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11. 已知关于x的方程x²﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．

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12. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径 $A B = 5$ 尺，立木高 $B D = 3$ 尺， $B E = 5$ 寸 $= 0.5$ 尺，则井深 $A C$ 为尺．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，分别以点A、C为圆心， $A O$ 长为半径画弧，分别交 $A B$ 、 $C D$ 于点E、F．若 $A C = 6$ ， $∠ C A B = 35 °$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 $(0 ， 3)$ 、 $(4 ， 3)$ ，点C是线段 $A B$ 的中点，将线段 $A C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C D$ ，过A、B、D三点作抛物线．当 $x \leq 1$ 时，抛物线上最高点的纵坐标为．

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三、解答题

15. 解方程： $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ．

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16. 如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，记下甲、乙两个转盘中指针所指的数字．请用画树状图或列表的方法，求这两个数字之和为偶数的概率．

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17. 图①、图②均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．

(1)、在图①中的线段 $A B$ 上找一点D，连结 $C D$ ，使 $∠ D C B = ∠ D B C$ ．

(2)、在图②中的线段 $A B$ 上找一点E，连结 $C E$ ，使 $∠ A C E = ∠ A E C$ ．

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18. 某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成四组：A组 $60 \leq x < 70$ ；B组 $70 \leq x < 80$ ；C组 $80 \leq x < 90$ ；D组 $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求n的值．

(2)、补全频数分布直方图．

(3)、若规定学生竞赛成绩 $x \geq 90$ 为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．

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19. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高 $B C = 80 m$ ，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为 $∠ D B E = 45 °$ ， $∠ D B F = 31 °$ ．若在此处建桥，求河宽 $E F$ 的长．（结果精确到 $1 m$ ）[参考数据： $s i n 31 ° ≈ 0.52$ ， $c o s 31 ° ≈ 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ $]$

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，以 $B C$ 为直径的⊙O交 $A B$ 于点D，点E是 $A C$ 上一点，连结 $C D$ 、 $D E$ ， $∠ A D E = ∠ B C D$ ．

(1)、判断 $D E$ 所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $∠ B = 50 °$ ， ⊙O的半径为6，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长．（结果保留 $π$ ）

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21. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．

(1)、求y与x之间的函数关系式．

(2)、求w与x之间的函数关系式．

(3)、该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

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22. （问题原型）如图①，在⊙O中，弦 $B C$ 所对的圆心角 $∠ B O C = 90 °$ ，点A在优弧 $B C$ 上运动（点A不与点B、C重合），连结 $A B$ 、 $A C$ ．

(1)、在点A运动过程中， $∠ A$ 的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．

(2)、若 $B C = 2$ ，求弦 $A C$ 的最大值．

(3)、（问题拓展）如图②，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ．若 $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，则线段 $M N$ 的最大值为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿 $A C - C B - B A$ 运动，到点A停止．当点P不与 $△ A B C$ 的顶点重合时，过点P作其所在边的垂线，交 $△ A B C$ 的另一边于点Q．设点P的运动时间为t秒．

(1)、边 $A C$ 的长为．

(2)、当点P在 $△ A B C$ 的直角边上运动时，求点P到边 $A B$ 的距离．（用含t的代数式表示）

(3)、当点Q在 $△ A B C$ 的直角边上时，若 $P Q = \frac{3}{2}$ ，求t的值．

(4)、当 $△ A P Q$ 的一个顶点到 $△ A B C$ 的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为 $2 n - 1$ ， $n + 3$ ．

(1)、求这条抛物线的顶点C的坐标．

(2)、若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．

(3)、当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．

(4)、当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、N（点M、N不与顶点C重合）．若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．

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