2021-2022学年浙教版数学八下1.3 二次根式的运算同步练习

试卷更新日期：2022-01-24 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{12} \div 2 = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{13} - \sqrt{3} = \sqrt{10}$ D、 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$

查看试题解析
2. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{8}{9}}$ B、 $\sqrt{27}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{18}$

查看试题解析
3. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 27}$ 的结果为（）

A、﹣1 B、1 C、 $4 - 3 \sqrt{3}$ D、7

查看试题解析
4. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(3 + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3}) = - 3$ B、 $（ \sqrt{2} + \sqrt{3} ） \sqrt{5} = 5$ C、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{5}$ D、 $(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) = 2 a - b$

查看试题解析
5. 与根式 $\sqrt{2 a}$ 不是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{9}{2 a}}$ B、 $\sqrt{8 a}$ C、 $\sqrt{\frac{2 a}{3}}$ D、﹣2 $\sqrt{2 a^{3}} b^{2}$

查看试题解析
6. 下列变形正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 16) (- 25)} = \sqrt{- 16} \times \sqrt{- 25}$ B、 $\sqrt{16 \frac{1}{4}} = \sqrt{16} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 4 \times \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2}} = \frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{25^{2} - 24^{2}} = 25 - 24 = 1$

查看试题解析
7. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ 和 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt{2 x}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 一个长方体纸盒的体积为 $4 \sqrt{3} {dm}^{3}$ ，若这个纸盒的长为 $2 \sqrt{2} dm$ ，宽为 $\sqrt{6} dm$ ，则它的高为（）

A、1dm B、 $2 \sqrt{2} dm$ C、 $2 \sqrt{3} dm$ D、48dm

查看试题解析
9. 估算 $\sqrt{32}$ － $\sqrt{8}$ （）

A、在2和3之间 B、在3和4之间 C、在5和6之间 D、在8和9之间

查看试题解析
10. 下列四个算式，其中一定成立的是（）
① $\sqrt{{(a^{2} + 1)}^{2}}$ ＝a²+1；② $\sqrt{a^{2}}$ ＝a；③ $\sqrt{a b}$ ＝ $\sqrt{a}$ • $\sqrt{b}$ （ab＞0）；④ $\sqrt{(x + 1) (x - 1)} = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

A、①②③④ B、①②③ C、①③ D、①

查看试题解析

二、填空题

11. 李明的作业本上有六道题：① $\sqrt[3]{- 2} = - \sqrt[3]{2}$ ，② $\sqrt{- 4} = - 2$ ，③ $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ ，④ $\sqrt{4} =$ ±2 ，⑤ $4 m^{- 2} = \frac{1}{4 m^{2}}$ ，⑥ $\sqrt{3 a} - \sqrt{2 a} = \sqrt{a}$ ，请你找出他做对的题是（填序号）.

查看试题解析
12. 分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ．

查看试题解析
13. 如果最简二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式，那么x的值为．

查看试题解析
14. $\sqrt{2 a} - \sqrt{b}$ 的一个有理化因式是．

查看试题解析
15. 若最简二次根式 $\sqrt{3 a - 10}$ 和 $3 \sqrt{a - 2}$ 是同类二次根式，那么 $a =$ ．

查看试题解析
16. 写出二次根式 $\sqrt{x + y}$ 的一个有理化因式是．

查看试题解析

三、综合题

17. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ ．

例2： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ $\dots$

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ；

(2)、观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ；

(3)、利用这一规律计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}) (\sqrt{2020} + 1)$ ．

查看试题解析
18. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 这样的式子，可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$ ＝ $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，以上这种化简的方法叫做分母有理化．
请化简下列各题（写出化简过程）：

(1)、 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 $\frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{7}}$ ；

(3)、 $\frac{1}{5 - \sqrt{3}}$ ；

(4)、 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$ ＋……＋ $\frac{1}{\sqrt{49} + \sqrt{50}}$ ．

查看试题解析
19. 已知 $x = \sqrt{3} - 1$ ， $y = \sqrt{3} + 1$ .

(1)、求 $x^{2} + x y + y^{2}$ ；

(2)、若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求 $\frac{1}{a + b} - \frac{b}{a}$ 的值.

查看试题解析
20. 小明在解决问题：已知a＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ．

∴a﹣2＝﹣ $\sqrt{3}$ ．

∴(a﹣2)²＝3，即a²﹣4a+4＝3．

∴a²﹣4a＝﹣1，

∴2a²﹣8a+1＝2(a²﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ＝；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}$ ；

(3)、若a＝ $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求2a²﹣8a+1的值．

查看试题解析
21. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，形如 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ 一样的式子，我们可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ＝ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$ ＝ $\sqrt{3} + 1$ ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(1)、请用上述的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ；

(2)、利用上面的解法，化简： $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ .

查看试题解析
22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值.他是这样解答的：

$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，     $∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，

$∴ {(a - 2)}^{2} = 3 ， a^{2} - 4 a + 4 = 3$          $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，

$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ .

请你根据小明的解析过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{256} + \sqrt{255}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$ ，求 $a^{4} - 6 a^{3} + a^{2} - 12 a + 3$ 的值.

查看试题解析
23. 已知a＝2＋ $\sqrt{6}$ ，b＝2﹣ $\sqrt{6}$ ，求下列式子的值：

(1)、a²﹣3ab＋b²；

(2)、（a＋1）（b＋1）.

查看试题解析
24. 阅读下面问题：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{5} - 2$ ，根据以上解法试求：

(1)、直接填空： $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ；

(2)、 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；

(3)、利用上述规律，求下列式子的值：
$\frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{12}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ ．

查看试题解析
25. 某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 $8 \sqrt{3}$ 米，宽AB为 $\sqrt{98}$ 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 $\sqrt{13} + 1$ 米，宽为 $\sqrt{13} - 1$ 米．

(1)、长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/ $m^{2}$ 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

查看试题解析
26. 在计算 $\sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$ 的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式 $= \sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} - \sqrt{24} \div \sqrt{3}$

$= 2 \sqrt{6 \times 3} - \sqrt{\frac{24}{3}}$ ①

$= 2 \sqrt{18} - \sqrt{8}$ ②

$= (2 - 1) \sqrt{18 - 8}$ ③

$= \sqrt{10}$ ④

(1)、老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第步开始出错的；

(2)、请你给出正确的解题过程．

查看试题解析
27. 计算：

(1)、 $\sqrt{5} \times \sqrt{2} \div 3 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(2)、 $\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{21}}{\sqrt{15}} -$ 14 $\sqrt{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{- 8}$ ．

(3)、用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水36千克，两种药水各需多少千克？

(4)、甲，乙两位同学在解方程组 ${\begin{array}{l} a x + 3 y = 4 \\ 2 x - b y = - 1 \end{array}$ 时，甲把字母a看错了得到方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$ ，乙把字母b看错了得到方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ．求a，b的符合题意值及求原方程组的解．

查看试题解析
28. 已知 $x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ．

(1)、求代数式 $x + \frac{1}{x}$ ．

(2)、求 $(7 - 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 - \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值．

查看试题解析
29. 有一个数值转换器，程序如图所示，按要求完成下列各小题．

(1)、当输入的x值为 $\sqrt{3} - 2$ 时，求输出的结果；

(2)、当输入的x值为 $\sqrt{3} - 1$ 时，求输出的结果．

查看试题解析
30. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= $\sqrt{\frac{h}{5}}$ (不考虑风速的影响)．

(1)、从50m高空抛物到落地所需时间t₁是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t₂是多少s；

(2)、t₂是t₁的多少倍？

(3)、经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

查看试题解析