广东省三校2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

1. 已知集合 $A = {x \in N | \frac{1}{2} < 2^{x + 1} < 16}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + m = 0}$ ，若 $1 \in A \cap B$ ，则 $A \cup B$ ＝（）

A、{1，2，3} B、{1，2，3，4} C、{0，1，2} D、{0，1，2，3}

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 4 - 3 i |$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、 $- 2 i$ C、1 D、 $i$

查看试题解析
3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 1$ ， $a_{4} + a_{5} = - 8$ ，则 $\frac{a_{7} + a_{8}}{a_{5} + a_{6}} =$ （）

A、2 B、-4 C、4 D、-8

查看试题解析
4. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上，有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 已知 $\cos (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

查看试题解析
7. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F作斜率大于0的直线 $l$ 交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且 $l$ 与准线交于点C，若 $\vec{C B} = 4 \vec{B F}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

查看试题解析
8. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当 $n \in N^{*}$ 时， $a_{n}$ ， $n + \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列，若 $S_{n} = 2020$ ，且 $a_{2} < 3$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、63 B、64 C、65 D、66

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

9. 下列命题错误的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 > 3 x_{0}$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 3 x$ ” B、“函数 $f (x) = \cos a x - \sin a x$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $a = 2$ ”的必要不充分条件 C、 $x^{2} + 2 x \geq a x$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时有解 $\Leftrightarrow {(x^{2} + 2 x)}_{\min} \geq {(a x)}_{\min}$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时成立 D、“平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ”

查看试题解析
10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点C与点G到平面AEF的距离相等

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | \cos \frac{π}{4} (x - 2) | - \sin \frac{π}{4} (x + 2)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $x \in [2 ， 4]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(4 ， 0)$ 中心对称 D、8为函数 $f (x)$ 的周期

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} + 1) - x$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (\ln 2) = \ln \frac{5}{2}$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $\ln 2$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 曲线 $y = \sin x + 2 \cos x - 1$ 在点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程为.

查看试题解析
14. 已知直线 $l$ ： $m x + y - 3 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别做 $l$ 的垂线与x轴交于C，D两点，若 $A B = 4$ ，则 $C D =$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x + a - 1 ， x < 1 \\ \log_{a} (x^{2} - a x + \frac{11}{4}) ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
16. 已知点 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线的左、右焦点，点 $D$ 为线段 $P F_{1}$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与线段 $F_{2} D$ 交于点 $M$ ，且满足 $\vec{P M} = \frac{4}{7} \vec{P D} + \frac{3}{7} \vec{P F_{2}}$ ，则 $\frac{| D M |}{| M F_{2} |} =$ ；若 $D$ 为线段 $P F_{1}$ 的中点且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则双曲线C的离心率为.

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17. 在① $2 a - \sqrt{2} c = 2 b \cos C$ ；② $a^{2} + c^{2} - b^{2} = 4 S$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知________________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $\tan B$ 的值；

(2)、若 $S = 10$ ， $a = 5$ ，求 $b$ 的值.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0$ ， $a_{3} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $2 T_{n} > m - 2021$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立.求正整数 $m$ 的最大值.

查看试题解析
19. 2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围，为贯彻总书记指示，广州市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动.

(1)、第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?，

(2)、现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少?

(3)、食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2

后10天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果.（选择一种方法进行说明即可）

查看试题解析
20. 如图甲是由正方形 $A B C D$ ，等边 $△ A B E$ 和等边 $△ B C F$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 6$ ，将其沿 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 折起得三棱锥 $P - A B C$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、过棱 $A C$ 作平面 $A C M$ 交棱 $P B$ 于点 $M$ ，且三棱锥 $P - A C M$ 和 $B - A C M$ 的体积比为 $1 ： 2$ ，求直线 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为6，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，长轴的左，右顶点分别为A，B.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $D (0 ， - 3)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交Y轴于点S、T，记 $\vec{D S} = λ \vec{D O}$ ， $\vec{D T} = μ \vec{D O}$ （ $O$ 为坐标原点），当直线 $l$ 的倾斜角 $θ$ 为锐角时，求 $λ + μ$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ .

(1)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点 $(x_{1} < x_{2})$ ，且 $f (x)$ 最小值为 $- a$ .
①求证： $x_{2} - x_{1} = 2$ ；

②当且仅当 $a$ 在什么范围内时，函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ 在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 上存在最小值?

(2)、若任意实数 $t$ ，在闭区间 $[t - 2 ， t + 2]$ 上总存在两实数m，n，使得 $| f (m) - f (n) | \geq 2021$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析