天津市南开区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若全集 $U = {x ∣ 0 < x < 5 ， x \in Z}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）.

A、{2} B、{3} C、{4} D、 ${2 ， 3 ， 4}$

查看试题解析
2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 2 x \geq 3$ ”是“ $2 \leq x \leq 4$ ”的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

查看试题解析
3. 函数 $y = 2^{| x |} \cdot s i n 2 x$ 的图象可能是（）.

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示.根据此图可知这批样本中寿命不低于300h的电子元件的个数为（）.

A、800 B、750 C、700 D、650

查看试题解析
5. 设 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l n 2$ ， $c = 5^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）.

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

查看试题解析
6. 设P，A，B，C为球O表面上的四个点， $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，且 $P A = 3$ ， $P B = 6$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为18，则球O的体积为（）.

A、 $\frac{23 \sqrt{46}}{3} π$ B、 $\frac{343}{6} π$ C、 $27 \sqrt{6} π$ D、 $\frac{243}{2} π$

查看试题解析
7. 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0， $- \frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ )的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称，它的最小正周期为π，则（）

A、f(x)的图象过点(0， $\frac{1}{2}$ ) B、f(x)在 $[\frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 上是减函数 C、f(x)的一个对称中心是 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ D、f(x)的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$

查看试题解析
8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过原点作一条倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线分别交双曲线左、右两支于 $P$ 、 $Q$ 两点，以线段 $P Q$ 为直径的圆过右焦点 $F$ ，则双曲线的离心率为（）.

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = | 2 x - 3 | - 8 s i n π x (x \in R)$ 的所有零点之和为（）.

A、10 B、11 C、12 D、13

查看试题解析

二、填空题

10. 设i为虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 + i} =$ .

查看试题解析
11. 二项式 $(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 x})^{8}$ 的展开式中，常数项是.

查看试题解析
12. 已知直线 $l ： 3 x - y - 6 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ .

查看试题解析
13. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{{(y + 1)}^{2}}{x} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{y}$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过.已知测试1次合格的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为；在3轮测试中，通过的次数X的期望是.

查看试题解析
15. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $A B = 4$ ， $B C = A D = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ ；若E，F分别是边 $B C$ ， $A B$ 上的点，且满足 $\frac{B E}{B C} = \frac{A F}{A B} = λ$ ，则当 $\vec{A E} \cdot \vec{D F} < 0$ 时， $λ$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n A + \sqrt{3} a c o s B = 0$ ， $a = 2 c$ ， $b = 2$ .

(1)、求角B；

(2)、求a，c；

(3)、求 $c o s (2 A - B)$ 的值.

查看试题解析
17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $D A ⊥ A B$ ， $A B = A P = 2$ ， $D A = D C = 1$ ， E为 $P C$ 上一点，且 $P E = \frac{2}{3} P C$ .

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $P A ∥$ 平面 $B D E$ ；

(3)、求平面 $A E B$ 与平面 $A E D$ 的夹角的大小.

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点P是椭圆C上的一个动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设斜率不为零的直线 $P F_{2}$ 与椭圆C的另一个交点为Q.
（i）求 $| P Q |$ 的取值范围；
（ii）若 $P Q$ 的垂直平分线交y轴于点 $T (0 ， \frac{1}{8})$ ，求直线 $P Q$ 的斜率.

查看试题解析
19. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{1} + a_{3}$ ， $a_{4}$ 依次是等差数列 ${b_{n}}$ 的第2项，第5项，第8项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}^{2} - a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .
（i）求 $S_{n}$ ；
（ii）求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i} b_{i} + 2}{S_{i}} < 6$ .

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq a x^{2} + (a - 2) x - 2$ 恒成立，求整数a的最小值；

(3)、是否存在一条直线与函数 $y = f (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象相切于两个不同的点？并说明理由.

查看试题解析