天津市和平区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ．则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知 $a ， b \in R$ 且 $a \cdot b \neq 0$ ，则“ $a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cdot c o s x$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a = l o g_{0.5} 1.1 ， b = 1 . 1^{0.9} ， c = 0 . 9^{1.1}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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5. 已知底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 若 $(\frac{1}{2})^{a} = 3^{b} = m$ ，且 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 2$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $(2 ， m)$ 到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线所围成的三角形面积为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 将函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，再将 $g (x)$ 图象上的所有点的横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $h (x)$ 的图象，则下列说法正确的个数是（）
①函数 $h (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是函数 $h (x)$ 图象的一个对称中心；③函数 $h (x)$ 图象的一个对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{6}$ ；④函数 $h (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上单调递增

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ \ln x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} x + a$ 恰有两个互异的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{8} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0] \cup (\frac{5 + 2 \sqrt{6}}{8} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{5 - 2 \sqrt{6}}{8}) \cup (\frac{5}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

10. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， - 2)$ ，向量 $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．

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11. 过点(－1，－2)的直线 $l$ 被圆x²＋y²－2x－2y＋1＝0截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为

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12. 设曲线y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．

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13. 已知x ， $y \in R^{+}$ ， $4 x + 5 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x + 3 y} + \frac{1}{3 x + 2 y}$ 的最小值．

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14. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = - 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} S_{n + 1}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ ､ $F$ 分别为 $B C$ ､ $C D$ 上的点， $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，点 $M$ 在线段 $E F$ 上，且满足 $\vec{A M} = x \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D} (x \in R)$ ，则 $x =$ ；若点 $N$ 为线段 $B D$ 上一动点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{M N}$ 的取值范用为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}, b - c = 2, \cos A = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $a$ 和 $\sin C$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 A + \frac{π}{6})$ 的值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 2$ ，前3项和是7．等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $2 b_{2} = a_{2} + a_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求① $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{(2 i - 1) b_{i}}$ ；
② $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} b_{3 i + \frac{1}{2}}$ .

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $P$ 到右焦点最小距离为 $1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $M$ ， $N$ 是曲线 $C$ 上的两点， $O$ 是坐标原点， $| M N | = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ M O N$ 面积的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ （其中 $a$ 为参数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值集合；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

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