上海市长宁区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ，集合 $B =$ ｛ $x | x$ 是6的正因数｝，则 $A ∪ B =$ .

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2. 如果 $a c^{2} > b c^{2}$ ，那么 $a > b$ ”是命题.（填“真”或“假”）

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3. 函数 $y = l o g_{2} \frac{x + 2}{x - 1}$ 的定义域是.

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4. 已知幂函数 $y = x^{a}$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，写出一个满足条件的 $a =$ .

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5. 当 $x < 0$ 时，化简 $| x | + \sqrt[4]{x^{4}} + \sqrt[3]{x^{3}} =$ .

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6. 若要用反证法证明“对于三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \neq c$ ，则 $a \neq b$ 或 $b \neq c$ ”，应假设.

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7. 已知 $l g 2 = a$ ， $l g 3 = b$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 $l o g_{18} 15 =$ .

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8. 已知等式 $3 x^{2} + 2 x + 1 = a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c$ 恒成立，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，则 $a - b + c =$ .

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9. 已知一元二次方程 $m x^{2} - 2 x + m + 3 = 0$ 有两个正实根，则实数 $m$ 的取值范围是.

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10. 已知函数 $y = - x^{2} + 2 a x + a$ ， $x \in [0 ， 1]$ 的最小值为1，则实数 $a$ 的值为.

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11. 若 $- x^{2} + a \leq | x - 2 | + | x + 3 |$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + | 2 x - a |$ ；若存在相异的实数 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 如图，点 $D$ ， $E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的两点，若 $α$ ： $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ， $β$ ： $D E ∥ B C$ ，则 $α$ 是 $β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + a$ 与对数函数 $y = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象关系可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图所示是某地池塘中的浮萍蔓延的面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与时间 $t$ （单住：月）的关系，以下结论错误的是（）

A、 $y = 2^{t}$ B、第5个月时，浮萍的面积会超过 $30 m^{2}$ C、浮萍的面积从 $2 m^{2}$ 到 $6 m^{2}$ 需要经过大约1.6个月 D、浮萍每个月面积的增长率是50%

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16. 下列命题中：
①当 $n = 0$ 时，函数 $y = x^{n}$ 的图象是一条直线；②函数 $y = x^{2}$ 和 $y = e^{l n x^{2}}$ 为同一函数；③若函数 $y = f (x)$ 是奇函数，则 $f (0) = 0$ ；④函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的图象是一段连续曲线，如果 $f (a) \cdot f (b) > 0$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上没有零点.
真命题的个数为（）

A、0个 B、2个 C、3个 D、4个

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = 4 x - 1}$ ，集合 $B = {(x ， y) | y = x^{2} + 2}$ ，求集合 $A ∩ B$ .

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18. 如图，在矩形地基的中心位置上建造一个面积为 $350 m^{2}$ 的一个矩形仓库，仓库四周铺设人行道；要求南北两侧的人行道宽 $4 m$ ，东西两侧的人行道宽 $5 m$ ，如何设计仓库的边长，才能使人行道的占地面积最小（结果精确到 $0.1 m$ ）？

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19. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 $I$ 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量 $r$ 可定义为 $r = \frac{2}{3} l g I + 2$ ；

(1)、若 $I = 1.2 \times 1 0^{6}$ ，求相应的震级；（结果精确到0.1级）

(2)、中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量 $I_{8.0}$ 是大丰区海域5.0级地震相对能量 $I_{5.0}$ 的多少倍？（结果精确到个位）

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20. 已知函数 $y = \frac{a x + 1}{x + 2}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若 $a = 1$ ，请研究函数 $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并做出大概图象；

(2)、是否存在 $a$ ，使得该函数在区间 $[1 ， + \infty)$ 上是严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合条件的 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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21. 设函数 $y = f (x) (x \in R)$ .

(1)、若对任意实数 $a$ ， $b$ 有 $f (a + b) = f (a) + f (b)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；
①判断函数的增减性，并证明；
②解不等式： $f (t^{2} + 5) + f (6 t) < 0$ ；

(2)、证明：“ $y = f (x) (x \in R)$ 图象关于直线 $x = a$ 对称”的充要条件是“任意给定的 $x \in R$ ， $f (2 a - x) = f (x)$ ”.

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