山东省济宁市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 3^{x} \geq 9}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $[2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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2. 已知复数z满足 $z \cdot i^{3} = 1 - 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{1 - x} ， x \leq 0 \\ l o g_{\frac{1}{2}} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 2$ ，则 $a_{15} + a_{16}$ =（）

A、32 B、64 C、128 D、256

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6. “ $1 < k < 5$ ”是方程“ $\frac{x^{2}}{k - 1} + \frac{y^{2}}{5 - k} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条

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7. 如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为 $θ$ ，则 $(s i n θ + c o s θ) (s i n θ - c o s θ) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $\vec{O M} = 3 \vec{O N}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于y轴对称 C、函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$ D、若 $\frac{π}{2} < x_{1} < x_{2} < π$ ，则 $g (x_{1}) > g (x_{2})$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 0$ ， $a_{4} + a_{11} > 0$ ， $a_{7} \cdot a_{8} < 0$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $S_{6} > S_{9}$ C、当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 最大 D、当 $S_{n} > 0$ 时，n的最大值为14

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ．若函数 $g (x) = f (x) - x - a$ 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围可以是（）

A、 $(- \frac{5}{4} ， - 1)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ C、 $(\frac{3}{4} ， 1)$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2)$

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12. 若点P是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的动点，点M是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥 $P - C_{1} D_{1} M$ 的体积为定值 B、当 $A P ⊥ D M$ 时，线段AP长度的最大值为3 C、当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 $4 \sqrt{2} + 2 π$ D、直线DM被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球所截得的线段的长度为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{A B} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{A C} = (2 ， x)$ ，若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $| \vec{B C} | =$ ．

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14. 若直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + m y + 1 = 0$ 平行，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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15. 已知定义域为R的函数 $f (x) = x^{3} + 3 s i n x$ ，满足 $f (1 - a) + f (1 - a^{2}) < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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16. 已知 $s i n α - c o s β = 3 c o s α - 3 s i n β$ ，且 $s i n (α + β) \neq 1$ ，则 $s i n (α - β) =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 a_{n} = 3 S_{n} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 c + b = 2 a c o s B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ，点D在边BC上，且 $C D = 2 B D$ ，求线段AD的长．

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19. 如图，扇形 $O P Q$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $O P Q$ 区域的圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $O P Q$ 区域外修建一条公路 $M N$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\overset{⌢}{P Q}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $∠ P O S = α$ （弧度），将公路 $M N$ 的长度记为 $y$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1)、将y表示为 $α$ 的函数，并写出 $α$ 的取值范围；

(2)、求y的最小值，并求此时 $α$ 的值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ P D$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若E为侧棱 $P D$ 的中点，且点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求平面 $A C E$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值．

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21. 已知抛物线E： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上一点 $C (1 ， y_{0})$ 到其焦点F的距离为2．

(1)、求实数 $p$ 的值；

(2)、若过焦点F的动直线 $l$ 与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作抛物线的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的交点为Q， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与y轴的交点分别为M、N．求 $△ Q M N$ 面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a c o s x + b e^{x}$ （a， $b \in R$ ），曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq c$ （ $c \in Z$ ）恒成立，求c的最小值．

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