黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $l$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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2. 复数 $z = i \cdot (- 1 + i)$ （i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知互不重合的直线 $m ， n$ ，互不重合的平面 $α ， β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $n \subset α ， m$ $∥$ $n$ ，则 $m$ $∥$ $α$ B、若 $n \subset α ， m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $α$ $∥$ $β ， m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ D、若 $m ⊥ β ， m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 1202年，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci，约1170-约1250）出版了他的《算盘全书》（LiberAbaci），在书中他向欧洲人介绍了东方数学，书中有这样一个数列 ${F_{n}} ： F_{1} = 1 ， F_{2} = 1$ ，且 $F_{n + 2} = F_{n} + F_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，这个数列就是著名的“斐波那契数列”，则此数列的前10项和为（）

A、10 B、88 C、143 D、232

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5. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 9 0^{∘}$ ，则 $| \vec{A C_{1}} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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6. 如图所示，将绘有函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 部分图像的纸片沿 $x$ 轴折成直二面角，若 $A ､ B$ 之间的空间距离为 $2 \sqrt{5}$ ，则 $f (\sqrt{3}) =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $P (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 将圆 $C$ 的面积分割成两个部分，若使得这两部分的面积之差最大，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $y = 1$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x + 2 y - 4 = 0$

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8. 如图所示，已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为椭圆的上顶点， $B$ 在 $x$ 轴上， $∠ B A F_{2} = 9 0^{∘}$ ，且 $F_{1}$ 是 $B F_{2}$ 的中点， $O$ 为坐标原点，若点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为3，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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二、多选题

9. 下列叙述正确的是（）

A、集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4} ， C = A \cup B$ ，则“任取 $x \in C$ ，使得 $x \in A ∩ B$ ”的概率为 $\frac{1}{2}$ B、向量 $\vec{a} = (m - 5 ， - 3) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ C、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c}}$ 也可以构成空间的一个基底 D、“直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 互相平行"是“直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率相等"的充分不必要条件

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10. 扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作 $A ､ B ､ C ､ D$ ，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为 $O$ ，设 $O A = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、 $O$ 为正四面体 $A B C D$ 的中心 C、 $B C = 1$ D、四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为 $π$

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11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若 $A$ ､ $B$ 为平面上相异的两点，则所有满足： $\frac{| P A |}{| P B |} = λ (λ > 0$ ，且 $λ \neq 1)$ 的点 $P$ 的轨迹是圆"，后来人们称这个四为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 0) ， B (4 ， 0)$ ，若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则下列关于动点 $P$ 的结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x = 0$ B、 $△ A P B$ 面积的最大值为6 C、在 $x$ 轴上必存在异于 $A ， B$ 的两定点 $M ， N$ ，使得 $\frac{| P M |}{| P N |} = \frac{1}{2}$ D、若点 $Q (- 3 ， 1)$ ，则 $2 | P A | = | P B |$ 的最小值为 $5 \sqrt{2}$

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12. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (1 ， 2) ， A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 都在抛物线上，且 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F M} = \vec{0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、抛物线方程为 $y^{2} = 4 x$ B、 $F$ 是 $△ A B M$ 的重心 C、 $| \vec{F A} | + | \vec{F M} | + | \vec{F B} | = 3$ D、 $S_{△ A F O}^{2} + S_{△ B F O}^{2} + S_{△ M F O}^{2} = 3$

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三、填空题

13. 已知 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点， $B$ 为椭圆的上顶点，且 $∠ F_{1} B F_{2} = 12 0^{∘}$ ，则椭圆离心率 $e =$ .

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14. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的吋候，利用了曲线方程 $C ： x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 | y |$ （如图所示）进行图案绘制.试求曲线 $C$ 围成的封闭图形的面积.

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15. 如图棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A D$ 上的动点， $Q$ 为线段 $B C$ 上的动点，则 $P Q$ 长度的最小值为.

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16. 已知一元二次函数 $f (x)$ 满足； $f (1) = 1$ ，且 $0 \leq f (x) \leq 2 x^{2}$ 恒成立，则 $f (x) =$ ；若 $a_{n} = f (1) + \frac{f (2)}{2} + \frac{f (3)}{3} + ⋯ + \frac{f (n)}{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l ： 2 x + 3 y - 6 = 0$

(1)、求过点 $P (2 ， 3)$ ，且与直线 $l$ 平行的直线 $m$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 相交于 $A ､ B$ 两点，求线段 $A B$ 的长.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} + 2 a_{5} = 12 ， 3 a_{4} - 2 a_{1} = 10$

(1)、求等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} c s i n B = b c o s (C - \frac{π}{3})$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3} ， 3 c^{2} = 2 a^{2} - 3 b^{2}$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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20. 如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 $P - A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D$ $/ /$ $B C ， A C \cap D B = O ， P O ⊥$ 平面 $A B C D ， ∠ B O C = 9 0^{∘} ， O A = 1$ ， $O C = 2 ， E$ 在 $P B$ 上.

(1)、为保证风筝飞行稳定，需要在 $E$ 处引一尼绳，使得 $P B = 3 P E$ ，求证：直线 $P D$ $/ /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、实验表明，当 $t a n ∠ P A C = 2$ 时，风筝表现最好，求此时直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的浙近线方程为 $\sqrt{3} x \pm 2 y = 0$ ，且虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + 1$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} > - 1$ ，求 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l o g_{3} (x + 1)}{x + 1} (x > 0)$ 的图像上有一点列 $P_{n} (x_{n} ， y_{n}) (n \in N^{*})$ ，点 $P_{n}$ 在 $x$ 轴上的射影是 $Q_{n} (x_{n} ， 0)$ ，且 $x_{n} = 3 x_{n - 1} + 2 (n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}) ， x_{1} = 2$ .

(1)、求证： ${x_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，当 $m \in [- 1 ， 1]$ 吋，不等式 $3 y_{n} < 9 t^{2} - 18 m t + 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设四边形 $P_{n} Q_{n} Q_{n + 1} P_{n + 1}$ 的面积是 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{2 T_{2}} + ⋯ + \frac{1}{n T_{n}} < 3$ .

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