河南省名校联盟2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 3) (x - 1) < 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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2. 已知命题p： $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x < t a n x$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x \geq t a n x$ B、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x > t a n x$ C、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x \geq t a n x$ D、 $\forall x \notin (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x \geq t a n x$

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3. 已知 $θ \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ ， $c o s θ = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则 $t a n (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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4. 甲､乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为100分，现统计了以往两人10次模拟考试的成绩，如下面茎叶图所示，则下列说法错误的是（）

A、甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 B、甲成绩的众数大于乙成绩的众数 C、甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D、甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数

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5. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.这七块板可拼成许多图形（1600种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从“鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的外轮廓是正方形，正视图和侧视图为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、6π B、8π C、12π D、16π

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，一条渐近线被圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 $S = 4$ ，则判断框内应填入的条件是（）

A、 $k \geq 15$ ？ B、 $k < 15$ ？ C、 $k \geq 16$ ？ D、 $k \geq 32$ ？

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9. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{10}$ ， E为PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10. 已知 $3^{a} = 2^{b} = l o g_{2} c = 6$ ，则3a，2b， $\sqrt{c}$ 的大小关系为（）

A、 $2 b < 3 a < \sqrt{c}$ B、 $3 a < 2 b < \sqrt{c}$ C、 $\sqrt{c} < 3 a < 2 b$ D、 $3 a < \sqrt{c} < 2 b$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N^{*})$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、直线 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- 1$

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12. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与抛物线C交于A，B两点，且 $| A F | + | B F | = 7$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $6 \sqrt{3}$ D、8

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 2 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值与最小值之和为.

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14. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为正方形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = θ$ ，若 $A C_{1} = 5$ ，则 $c o s θ =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $S_{n}$ 为其前n项和， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = \frac{1}{a_{n}} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .令 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{a_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前25项和是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $c o s (B - C) + 3 c o s A = 0$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | y = l n (- x^{2} + 8 x + 20)}$ ，非空集合 $B = {x | 1 - t \leq x \leq 1 + t}$ .若 $x \notin A$ 是 $x \notin B$ 的必要条件，求实数t的取值范围.

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18. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： $x = 4$ 交抛物线C于P，Q两点，且 $△ O P Q$ 为等腰直角三角形.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、已知点 $M (3 ， 0)$ ，且 $⊙ M$ 与直线l相切.设F为抛物线C的焦点，过点F与 $⊙ M$ 相切的直线 $l_{1}$ 交抛物线C于A，B两点，求AB的长.

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19. 已知钝角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____， $4 b s i n A = \sqrt{3} b c o s A + a s i n B$ ， $a = 1$ ，求c的值.

(1)、从条件① $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{6} b$ ， ② $s i n C = \frac{\sqrt{3}}{3} s i n B$ 中选择一个填到横线上，并解决问题；

(2)、以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且 $A D = 2 D C$ ，求线段BD的长度.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的数列，且 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{a_{n}} = n^{2} + n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(2)、是否存在正整数c，使 $T_{n} \leq 14 n - 2 c$ 的解集中n的值有且仅有3个？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由.

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21. 在矩形ABCD中，E是DC的中点，且 $A B = 2 B C$ ，如图1.将 $△ D A E$ 沿AE折起，使 $D B = \sqrt{3} B C$ ，如图2.

(1)、求证：平面 $D A E ⊥$ 平面BDE；

(2)、求平面DAB与平面DCE所成二面角的正弦值.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点 $P (b ， \frac{1}{a})$ 在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线 $x = 1$ 对称.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $△ P A B$ 的面积S的最大值.

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