河北省张家口市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4 ， 6 ， 8}$ B、 ${2 ， 4 ， 6}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8}$ D、 ${2 ， 4}$

查看试题解析
2. 已知 $z = 1 - 2 i$ ，则 $\frac{5 i}{z} =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $10 - 5 i$ D、 $- 10 + 5 i$

查看试题解析
3. 直线 $x + y = 2$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 6$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
4. 已知一个圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面面积是底面面积的 $\sqrt{3}$ 倍，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{4}{3} π$

查看试题解析
5. 已知 $M (x_{0} ， y_{0})$ 是拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $F$ 是 $C$ 的焦点， $y_{0} = | M F | = 6$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、9

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 2 x + l n x$ ，则函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x + y - 2 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 是奇函数，在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 是偶函数，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 非奇非偶，在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增

查看试题解析
8. 已知 $1 0^{x} = 2 ， 1 0^{y} = 5$ ，则（）

A、 $x + y < 1$ B、 $x y > \frac{1}{4}$ C、 $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$ D、 $y - x > \frac{2}{5}$

查看试题解析

二、多选题

9. 2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程.为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如下图所示：
经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，预计该地区（）

A、2030年煤的消费量相对2020年减少了 B、2030年天然气的消费量是2020年的5倍 C、2030年石油的消费量相对2020年不变 D、2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍

查看试题解析
10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点，直线 $y = k x (k > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，过点 $A$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $E$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长一定是 $4 \sqrt{3}$ C、点 $E$ 与焦点重合时，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积最大 D、直线 $B E$ 的斜率为 $\frac{1}{2} k$

查看试题解析
11. 已知 $s i n θ c o s θ + \sqrt{3} c o s^{2} θ = c o s θ + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{18}$

查看试题解析
12. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）.如图，三棱锥 $D - A B C$ 为一个鳖臑，其中 $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D A = A B = B C = 2$ ， $A M ⊥ D C$ ， $M$ 为垂足，则（）

A、 $A M ⊥$ 平面 $B C D$ B、 $D C$ 为三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的直径 C、三棱锥 $M - A B D$ 的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、三棱锥 $M - A B C$ 的外接球体积与三棱锥 $M - A B D$ 的外接球体积相等

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 - 2 m ， 1)$ ，向量 $\vec{b} = (3 m + 1 ， 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m =$ .

查看试题解析
14. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ ， $a_{4} = 6$ ，且 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列，则 $a_{n} =$ .

查看试题解析
15. 四个不同的小球随机放入编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ， $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 且函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{16} ， \frac{π}{8})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = n^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知某区 $A$ 、 $B$ 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为 $9 ： 11$ ，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 $A$ 、 $B$ 两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
附表：
$p (K^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、在抽取的100名学生中， $A$ 、 $B$ 两所学校各抽取的人数是多少？

(2)、该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；

(3)、另据调查，这100人中做作业时间超过 $3$ 小时的人中的20人来自 $A$ 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关？

做作业时间超过3小时
做作业时间不超过3小时
合计
$A$ 校
$B$ 校
合计

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $C = 13 5^{∘}$ ， $b = \sqrt{5} a s i n B$ .

(1)、求 $s i n B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点， $C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $M$ 、 $N$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A P$ 、 $A D$ 、 $D C$ 、 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A F / /$ 平面 $M N E$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，右顶点 $D$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0 ， O$ 为坐标原点，点 $O$ 到直线 $l$ 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - a x^{2} - 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；

(2)、若 $g (x) = f (x) - e^{- x}$ ，讨论函数 $g (x)$ 的极值点的个数.

查看试题解析

$p (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	做作业时间超过3小时	做作业时间不超过3小时	合计
$A$ 校
$B$ 校
合计