河北省邯郸市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 3 ， - 1 ， 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${- 3 ， - 1}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则其共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $\frac{7}{2} i$ D、 $- \frac{7}{2} i$

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3. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = 2^{- 0.4}$ ， $c = 0 . 5^{2.1}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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4. 已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成45°角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{| x |}}$ 的部分图像为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知直线 $l ： a x + b y - a b = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $△ A O B$ 的面积的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A，B是双曲线右支上两点，且 $\vec{B F_{2}} = 3 \vec{F_{2} A}$ ，设 $△ A F_{1} B$ 的内切圆圆心为 $I_{1}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I_{2}$ ，直线 $I_{1} I_{2}$ 与线段 $F_{1} F_{2}$ 交于点P，且 $\vec{F_{1} P} = 3 \vec{P F_{2}}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ - 2 | x + 1 | + 2 ， x < 0 \end{array}$ 若存在唯一的整数x，使得 $\frac{2 f (x) - 1}{x - a} < 0$ 成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 1}$

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二、多选题

9. 2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组： $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.040$ B、得分在 $[95 ， 100]$ 的人数为4人 C、200名党员员工测试分数的众数约为87.5 D、据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x + \frac{π}{2}) + s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 最大值为1 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位可以得到函数 $f (x)$ 的图像

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11. 已知A，B是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上两点，焦点为F，抛物线上存在一点 $M (3 ， t)$ 到准线的距离为4，则下列说法正确的是（）

A、 $p = 2$ B、若 $O A ⊥ O B$ ，则直线AB恒过定点 $(4 ， 0)$ C、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为 $\frac{3}{2}$ D、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线AB的斜率为 $\sqrt{3}$

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12. Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列 ${a_{n}}$ 第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列 ${b_{n}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的第四项为111221 B、数列 ${a_{n}}$ 中每项个位上的数字不都是1 C、数列 ${b_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${b_{n}}$ 前10项的和为160

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三、填空题

13. 已知平面向量 $a = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直，则 $λ =$ ．

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14. 2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为．

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15. 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成60°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于 $13 π$ ，则球O的体积为．

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16. 已知当 $x \in (0 ， π)$ 时，不等式 $\frac{c o s 2 x + 3 s i n x - 2}{c o s^{2} x - 4 s i n x - 1} \leq 0$ 的解集为A，若函数 $f (x) = s i n (x + φ) (0 < φ < π)$ 在 $x \in A$ 上只有一个极值点，则 $ϕ$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b s i n (\frac{π}{2} - C) = \frac{1}{2} a b + c c o s (π - B)$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ 中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上， $D E = 2 S E$ ．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、若正方形ABCD的边长为1，二面角 $E - A C - D$ 的大小为45°，求四棱锥 $S - A B C D$ 的体积.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $6 S_{n} = a_{n} a_{n + 1} + 2$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = 2^{\frac{a_{n} + 2}{3}} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等．若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币．已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关．

(1)、求该玩家获得3枚金币的概率；

(2)、为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ．记点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设直线l不经过 $P (0 ， 1)$ 点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点 $(1 ， - 1)$ ，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) + x - 1 \geq l n x - l n a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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