吉林省长春市朝阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 100的算术平方根是（）

A、10 B、 $- 10$ C、 $\pm 10$ D、 $\pm \sqrt{10}$

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2. 无理数是（）

A、带根号的数 B、有限小数 C、循环小数 D、无限不循环小数

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3. 计算 $a^{3} \cdot a^{4}$ 的结果是（）

A、 $4 a^{3}$ B、 $3 a^{4}$ C、 $a^{7}$ D、 $a^{12}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$ B、 $a^{5} \div a^{3} = a^{8}$ C、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$ D、 $a (a - 1) = a^{2} - 1$

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5. 在证明命题“若 $a^{2} > 1$ ，则 $a > 1$ ”是假命题时，下列选项中所举反例错误的是（）

A、 $a = 2$ B、 $a = - 2$ C、 $a = - 3$ D、 $a = - 4$

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6. 某公司的生产量在1﹣7月份的增长变化情况如图所示，从图上看，下列结论正确的是（）

A、1月份生产量最大 B、这七个月中，每月的生产量不断增加 C、1﹣6月生产量逐月减少 D、这七个月中，生产量有增加有减少

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7. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点 $A$ ，再在河的这一边选定点 $B$ 和 $F$ ，使 $A B ⊥ B F$ ，并在垂线 $B F$ 上取两点 $C$ 、 $D$ ，使 $B C = C D$ ，再作出 $B F$ 的垂线 $D E$ ，使点 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，因此证得 $△ A B C ≌ △ E D C$ ，进而可得 $A B = D E$ ，即测得 $D E$ 的长就是 $A B$ 的长，则 $△ A B C ≌ △ E D C$ 的理论依据是（）

A、 $S A S$ B、 $H L$ C、 $A S A$ D、 $A A A$

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8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 $9 c m$ ，内壁高 $12 c m$ ．若这支铅笔长为 $18 c m$ ，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A、 $3 c m$ B、 $5 c m$ C、 $6 c m$ D、 $8 c m$

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt[3]{- 125} =$ ．

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10. 在数3141592653中，偶数出现的频率是．

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11. 分解因式： $a^{3} - a^{2} =$ ．

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12. 若3^m=2，3ⁿ=5，则3^2m+n=。

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点 $B$ 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，再分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A C$ 于点 $D$ ．若 $C D = 3$ ，则点 $D$ 到边 $A B$ 的距离为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ． $E$ 为线段 $B D$ 上一点，连结 $C E$ ，将边 $B C$ 沿 $C E$ 折叠，使点 $B$ 的对称点 $B$ 落在 $C D$ 的延长线上．若 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，则 $△ A C E$ 的面积为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}} - {}^{3}{\sqrt{- 8}} + {}^{3}{\sqrt{- 27}}$

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16. 计算： $(12 a^{4} - 4 a^{3} - 8 a^{2}) \div {(2 a)}^{2}$ ．

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17. 计算： $2 x (x - 3) + (x - 2) (x + 7)$ ．

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18. 先化简，再求值： ${(2 a + b)}^{2} + (a - b) (a + b) - 4 a (a - b)$ ，其中 $a = 2$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ．

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19. 图①、图②、图③都是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 $A B$ 的端点都在格点上．分别在图①、图②、图③中以 $A B$ 为边画一个等腰三角形，使该三角形的第三个顶点在格点上，且该顶点的位置不同．

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20. 为了解地铁开通对节约“出行时间”影响情况，对地铁1号线上某趟列车上的部分乘客进行随机抽样调查．将调查结果分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四类，其中 $A$ 表示“出行节约0﹣10分钟”， $B$ 表示“出行节约10﹣30分钟”， $C$ 表示“出行节约30分钟以上”， $D$ 表示“其他情况”，并根据调查结果绘制了图①、图②这两个不完整的统计图表．

(1)、求这次调查的总人数．

(2)、补全条形统计图．

(3)、在图②的扇形统计图中，求 $A$ 类所对应的扇形圆心角的度数．

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21. 如图，有一张四边形纸片 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ．经测得 $A B = 9 c m$ ， $B C = 12 c m$ ， $C D = 8 c m$ ， $A D = 17 c m$ ．

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两点之间的距离．

(2)、求这张纸片的面积．

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22. （阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为 $a$ 、 $b$ ，斜边长为 $c$ ．图中大正方形的面积可表示为 ${(a + b)}^{2}$ ，也可表示为 $c^{2} + 4 \times \frac{1}{2} a b$ ，即 ${(a + b)}^{2} = c^{2} + 4 \times \frac{1}{2} = a b$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(1)、（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形 $B C D E$ ，其中 $△ B C A ≌ △ A D E$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ，根据拼图证明勾股定理．

(2)、（定理应用）在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．求证： $a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} = c^{4} - b^{4}$ ．

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23. （教材呈现）下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

已知：如图， $M N ⊥ A B$ ，垂足为点C， $A C = B C$ ，点P直线MN上的任意一点．

求证： $P A = P B$ ．

(1)、请根据教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．

(2)、若

A P = 13

，

A B = 10

，求

△ A C E

的周长；

(3)、在（1）的条件下，直接写出EP的长为．

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24. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位的速度沿 $A B$ 向终点 $B$ 匀速运动；同时，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $C A$ 向终点 $A$ 匀速运动，连结 $C P$ ，以 $C P$ 为边向其左侧作等边三角形 $C D P$ ，连结 $A D$ 、 $D Q$ 、 $B Q$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、求证： $△ A C P ≌ △ C B Q$ ．

(2)、求证： $△ A C D ≌ △ A B Q$ ．

(3)、求 $△ A D Q$ 的周长（用含 $t$ 的代数式表示）．

(4)、当 $C P$ 的长最短时，连结 $P Q$ ，直接写出此时 $t$ 的值和四边形 $A D Q P$ 的周长．

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