河南省信阳市罗山县2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试卷

试卷更新日期：2022-01-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. “致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我同古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊绝了千年的时光.在下列标识或简图中为既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、(3， -5) B、(-3， 5) C、(3， 5) D、(-3， -5)

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3. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜2 B、m≤2 C、m＜2且m≠1 D、m≤2且m≠1

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4. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

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5. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，以点A为圆心， $A D$ 为半径画圆弧 $D E$ 得到扇形 $D A E$ （阴影部分，点E在对角线 $A C$ 上）.若扇形 $D A E$ 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知(﹣3， $y_{1}$ )，(﹣2， $y_{2}$ )，(1， $y_{3}$ )是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 12 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{3}$ $<$ $y_{2}$ $<$ $y_{1}$ B、 $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ $<$ $y_{2}$ C、 $y_{2}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{2}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，且 $a \neq 0$ ）中的x与y的部分对应值如表.下列结论：① $a c < 0$ ；②当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而减小③3是方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的一个根；④当 $- 1 < x < 3$ 时， $a x^{2} + (b - 1) x + c > 0$ .其中正确的个数为（）
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-1
3
5
3
…

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， $∠ A O B = ∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ，将 $Δ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，点B的对应点B的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2 + \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3})$ D、 $(- 3 ， \sqrt{3})$

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10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= $\frac{9}{2}$ ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 已知点 $A (2 ， m - 4)$ ， $B (n + 2 ， 3)$ 关于原点对称，则 $m + n =$ .

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12. 疫情防控期间，各学校严格落实测体温进校园的防控要求，某学校开设了 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个测温通道．某天早晨，小明和小红两位同学随机通过测温通道进入校园，则小明和小红从同一通道进入校园的概率为．

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13.
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．

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14. 将二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 1$ 的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是.

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15. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 1$ ，把 $△ A B C$ 绕点A按顺时针方向旋转 $45 °$ 后得到 $△ A B' C'$ ，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是.

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三、解答题

16. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
解方程： $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$
提示：可以用“换元法”解方程.
解；设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t ⩾ 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$ .
原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$
续解： $(t + 2)^{2} = 9$

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17. 从2021年起，江苏省高考采用“ $3 + 1 + 2$ ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.

(1)、若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是；

(2)、若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率.

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18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点 $A (5 ， 2)$ 、 $B (5 ， 5)$ 、 $C (1 ， 1)$ 均在格点上.

(1)、将 $△ A B C$ 向下平移5个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 逆时针旋转90°后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）.

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19. 如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是弧AC的中点，DB交AC于点G.过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD，点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F.

(1)、求证： $M D = G D$ ；

(2)、填空：①当 $∠ D E A =$ 时， $A F = F G$ ；
②若 $∠ A G B$ 的度数为 $120 °$ ，当 $∠ D E A =$ 时，四边形DEBC是菱形.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ 。

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

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21. 某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：按商品的进货单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了7元
请结合以上信息，解答下列问题：

(1)、求甲、乙两种商品的进货单价：

(2)、已知甲、乙两种商品的零售单价分別为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商品决定把甲种商品的零售单价下降m（m>0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价 $-$ 进货单价）

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22. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq 0$ ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
m
0
-3
n
-3
…

(1)、根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；

(2)、求抛物线的表达式及m，n的值；

(3)、请在图1中画出所求的抛物线，设点P为抛物线上的动点，OP的中点为 $P'$ ，描出5个相应的点 $P'$ ，再把相应的点 $P'$ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

(4)、设直线 $y = m (m > - 2)$ 与抛物线及（3）中的点 $P'$ 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ，请根据图象直接写出线段 $A_{3} A_{4} - A_{1} A_{2}$ 的值为.

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23. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $∠ A C B$ 与 $∠ E C D$ 恰好为对顶角， $∠ A B C = ∠ C D E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $A B = B D$ ，点F是线段 $C E$ 上一点.

(1)、探究发现：
当点F为线段 $C E$ 的中点时，连接 $D F$ ，如图（2），小明经过探究，得到结论： $B D ⊥ D F$ .你认为此结论是否成立？.（填“是”或“否”）

(2)、拓展延伸：
将（1）中的条件与结论互换，即：若 $B D ⊥ D F$ ，则点F为线段 $C E$ 的中点.请判断此结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)、问题解决：
若 $A B = 6 ， C E = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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x	…	-1	0	1	3	…
y	…	-1	3	5	3	…

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	m	0	-3	n	-3	…