2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题五图形的变换 5.3 图形的平移和旋转

试卷更新日期：2022-01-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，则旋转角为（）．

A、∠BAD B、∠BAC C、∠BAE D、∠CAD

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2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10.将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是5，则图中阴影部分的面积为（）

A、25 B、50 C、35 D、70

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4. 如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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5. 如图，将 $△$ ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 $△ A B C$ ．使点 $B$ 恰好落在BC边上，∠BAC＝120°， $A B$ ＝ $C B$ ，则∠C的度数为（）

A、18° B、20° C、24° D、28°

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6. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， $∠ A O B = ∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ，将 $Δ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，点B的对应点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2 + \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2 + \sqrt{3})$ D、 $(- 3 ， \sqrt{3})$

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7. 如图，已知二次函数 $y_{1} = {(x + 1)}^{2} - 3$ 向右平移2个单位得到抛物线 $y_{2}$ 的图象，则阴影部分的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP = 6，则PC的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $3 \sqrt{5} - 3$ D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点 $Q^{'}$ ，连接 $O Q^{'}$ ，则 $O Q^{'}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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10. 如图，将边长为 $a$ 的正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 在直线l上由图 $1$ 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 $2$ 位置时，顶点 $A_{1}$ 所经过的路径（）

A、 $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{3} π a$ B、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{3} π a$ C、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{3} π a$ D、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{6} π a$

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二、填空题

11. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移至 $△ D E F$ 处．若 $E C = 2 B E = 2$ ，则 $E F$ ＝．

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12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为．

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13. 如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB ，则∠BAB′等于．

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 是正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点 $O$ 自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ．则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系是．

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15. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，则图中阴影部分的面积是．

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16. 在如图所示的正方形网格中， $△ M N P$ 绕某点旋转一定的角度，得到 $△ M_{1} N_{1} P_{1}$ ，则旋转中心可能是A，B，C，D中的点．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 8 cm$ ，点D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A C D = 15 °$ ， $C D = 3 cm$ ，连接AD，将 $△ A C D$ 绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为cm．

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18. 如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中， $A (2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ .抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点B，C，顶点为D.将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，记A'C'的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 .

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三、综合题

19. 如图所示，某住宅小区内有一块长的长 $32 m$ ，宽 $20 m$ 方形形，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分做绿化，道路的宽为 $2$ 米，求绿化的面积．

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20. 如图将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点C和点E是对应点，若 $∠ C A E = 90 °$ ， $A B = 1$ ，求BD的长．

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21. 如图，点O是等边三角形ABC内部一点，且满足∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转至△ADC的位置，连接OD，OA．

(1)、求∠ODC的度数；

(2)、若OB=2，OC=3，求AO的长.

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22. 如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 12$ ， $∠ C A B = 120 °$ ，P是BC边上一点（不与B、C点重合），将线段AP绕点A逆时针旋转 $120 °$ 得到扇形PAQ．

(1)、求证： $△ A P B ≅ △ A Q C$

(2)、当BC与扇形PAQ相切时，求BQ的长；

(3)、如图2，若 $A P ∥ C Q$ ，求阴影部分的图形的周长．（结果不求近似值）

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23. 如图1，在 $△$ ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D是 $△$ ABC内部一点，∠ADC＝135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE．

(1)、求∠CDE的度数，并说明A、D、E三点是否共线；

(2)、在（1）的条件下，连接BE，如图2，过点C作CM⊥DE于点M，请判断线段AE，CM和BE之间的数量关系，并说明理由．

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24. 有公共顶点A的△ABD ， △ACE都是的等边三角形．

(1)、如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E ， C ， B共线时，求∠BCD的度数；

(2)、如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F ，
①求证：∠DCF=∠BEF；

②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0) $B (0 ， b)$ ，．
（Ⅰ）如图，若 $| a + b + 1 | + \sqrt{3 a + 4 b} = 0$ ，已知点 $C (m ， - m)$ ．

①连接AC ，当 $A C // y$ 轴时，求m的值：

②若 $△ A B C$ 的面积是8，求m的值：

（Ⅱ）如图，若 $∠ A B O = 60 °$ ，射线BA以每秒9°的速度绕点B顺时针方向旋转至射线BA₁ ，点M为x轴正半轴上一点，射线MO以每秒6°的速度绕点M逆时针方向旋转到MO₁ ，设运动时间为t秒 $(0 < t < 30)$ ，求t为多少秒时，直线 $B A_{1} // M O_{1}$ ？

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26. 如图，将两个等腰直角三角形纸片 $O A B$ 和 $O C D$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (0 ， \sqrt{2} + 1)$ ，点 $B (\sqrt{2} + 1 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 1)$ ，点 $D (1 ， 0)$ ．

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、如图，现将 $△ O C D$ 绕点O顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，这一过程中 $A C$ 和 $B D$ 是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角 $α$ 的度数为时， $A C$ 所在直线能够垂直平分 $B D$ ；

(3)、在（2）的情况下，将旋转角 $α$ 的范围扩大为 $0 ° < α < 360 °$ ，那么在旋转过程中，求 $△ B A D$ 的面积的最大值，并写出此时旋转角 $α$ 的度数．（直接写出结果即可）．

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27. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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28. 如图 $①$ ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， $GE ⊥ BC$ ，垂足为点E， $GF ⊥ CD$ ，垂足为点F.

(1)、发现问题：在图 $①$ 中， $\frac{AG}{BE}$ 的值为.

(2)、探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 $α$ 角 $(0^{\circ} < α < 45^{\circ})$ ，如图 $②$ 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)、解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 $③$ 所示，延长CG交AD于点H；若 $AG = 6$ ， $GH = 2 \sqrt{2}$ ，直接写出BC的长度.

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一、单选题

二、填空题

三、综合题

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