广东省深圳市南山区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-01-18 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角 $a =$ （）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 1 ， a_{3} = 3$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、10 B、17 C、21 D、35

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3. 已知 $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $⊙ C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则两圆的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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4. 已知双曲线C过点 $(1 ， \sqrt{2})$ 且渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则双曲线C的方程是（）

A、 $3 x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ C、 $y^{2} - 3 x^{2} = 1$ D、 $3 y^{2} - x^{2} = 1$

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5. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $\log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{10} = 1$ ，且 $a_{3} a_{6} a_{8} a_{11} = 16$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、4 B、2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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8. 数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = 1$ ， $a_{n} = n^{2} + 5 n + 6$ ， $n \in N^{*}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前10项之和为（）

A、 $\frac{4}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{8}{39}$ D、 $\frac{10}{39}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 以下命题正确的是（）
若 ${\vec{n}}_{1}$ 是平面 $α$ 的一个法向量， ${\vec{n}}_{2}$ 是平面 $β$ 的一个法向量， $A ， B$ 是直线b上不同的两点，则（）

A、 $b / / α \Leftrightarrow \vec{n_{1}} \cdot \vec{A B} = 0$ B、 $α ⊥ β \Leftrightarrow \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ C、 $α / / β \Leftrightarrow \exists λ \in R$ ，使得 $\vec{n_{1}} = λ \vec{n_{2}}$ D、设 $α$ 与 $β$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos θ = | \cos 〈 \vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}} 〉 |$ ．

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10. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 1)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{n^{2}} - y^{2} = 1 (n > 0)$ 的焦点重合， $e_{1} ， e_{2}$ 分别为 $C_{1} C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $e_{1} e_{2} > 1$ D、 $e_{1} e_{2} < 1$

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11. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，下列结论一定成立的是（）

A、若 $a_{3} > 0$ ，则 $a_{2021} > 0$ B、若 $a_{4} > 0$ ，则 $a_{2021} < 0$ C、若 $a_{3} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$ D、若 $a_{4} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$

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12. 设圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，过点 $P (1 ， 2)$ 的直线 $l$ 与C交于 $A ， B$ 两点，则下列结论正确的为（）

A、P可能为 $A B$ 中点 B、 $| A B |$ 的最小值为3 C、若 $| A B | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $l$ 的方程为 $y = 2$ D、 $△ A B C$ 的面积最大值为 $\frac{9}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若直线 $2 x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y + 3 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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14. 已知 $a = (- 1 ， 1 ， 2) ， b = (0 ， 2 ， 3)$ ，若 $k a + b$ 与 $2 a - b$ 垂直，则 $k =$ ．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $B C ， C C_{1}$ ，的中点，则直线 $A_{1} B$ 和 $M N$ 夹角的余弦值为．

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16. 已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l_{1} ： x = - 1$ ，动圆P过点F且与直线 $l_{1}$ 相切，其圆心P的轨迹为曲线 $C ， C$ 上的动点Q到y轴的距离为 $d_{1}$ ，到直线 $l_{2} ： x - y + 2 = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知公差 $d < 0 ， a_{1} = 10$ ，且 $a_{2} ， a_{5} ， a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{30} |$ 的值．

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18. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 2 x + 4$ 上，且经过点 $M (0 ， 2)$ 和 $N (2 ， 4)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} \cdot S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．
① $b_{2} = 4 ， b_{4} = 8$ ；② $b_{2}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{4}$ 的等比中项， $T_{8} = 72$ ．

若公差不为0的等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 ▲ ，求数列 ${\frac{T_{n}}{n a_{n}}}$ 的前n项和 $A_{n}$ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 如图， $A B$ 是过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的弦，M是 $A B$ 的中点， $l$ 是抛物线的准线， $M N ⊥ l ， N$ 为垂足，点N坐标为 $(- 2 ， - 3)$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积（O为坐标系原点）．

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21. 图1是由等边三角形 $A B D$ 和等腰直角三角形 $B D C$ 组成的一个平面图形，其中 $B D = 2 ， ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ．若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，连接 $A C$ ，如图2．

(1)、求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求二面角 $C - A B - D$ 的余弦值．

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22. 设圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x - 21 = 0$ 的圆心为 $P$ ，点 $Q (- \sqrt{3} ， 0)$ ，点 $H$ 为圆上动点，线段 $H Q$ 的垂直平分线与线段 $H P$ 交于点 $E$ ，设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 切于点 $M$ ，问： $| M A | \cdot | M B |$ 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

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