高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2022-01-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点到准线的距离为|（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 与双曲线 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ 有公共焦点且离心率为 $\frac{4}{5}$ 的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{80} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{80} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{100} + \frac{x^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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3. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是双曲线 $C$ 的左、右顶点，点 $P$ 在过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上， $△ P A_{1} A_{2}$ 为等腰三角形， $∠ A_{1} A_{2} P = 120 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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4. 中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部（图2）外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在 $x$ 轴上离心率为 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为（）

A、 $5 x \pm 3 y = 0$ B、 $x \pm 15 y = 0$ C、 $\sqrt{5} x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm \sqrt{5} y = 0$

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5. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 9$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的值为（）

A、8 B、10 C、12 D、15

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6. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9 + m} + \frac{y^{2}}{3 + m} = 1$ 的焦点，若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- 3 ， 3]$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， 3]$

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7. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点， $A$ 为右顶点， $P$ 是椭圆上一点， $P F ⊥ x$ 轴，若 $| P F | = \frac{1}{4} | A F |$ ，则该椭圆的离心率是. （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 $F_{1}$ ，若其近月点 $A$ (离月球表面最近的点)与月球表面距离为 $r_{1}$ 公里，远月点 $B$ (离月球表面最远的点)与月球表面距离为 $r_{2}$ 公里，并且 $F_{1}$ ， $A$ ， $B$ 在同一直线上．已知月球的半径为 $R$ 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）

A、 $\frac{r_{1} + r_{2}}{2 R + r_{1} + r_{2}}$ B、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{2 R + r_{1} + r_{2}}$ C、 $\frac{r_{1} + r_{2}}{R + r_{1} + r_{2}}$ D、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$

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二、多选题

9. 曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a^{2} + b^{2} = c^{2} ， a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{1} ， F_{2}$ 为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于 $M ， N$ （ $M ， N$ 均在第一象限），连接 $M F_{1}$ ，交另一支渐近线于E，且E为 $M F_{1}$ 的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（）

A、双曲线的离心率 $e = 2$ B、双曲线的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、当 $a = 1$ 时， $△ N F_{1} F_{2}$ 的面积为3 D、当 $a = 1$ 时， $△ N F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{7}$

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10. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1 (k \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < k < 6$ ，曲线 $C$ 为椭圆 B、当 $k = 0$ 时，曲线 $C$ 为双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、“ $k > 6$ 或 $k < 2$ ”是“曲线 $C$ 为双曲线”的充要条件 D、不存在实数 $k$ 使得曲线 $C$ 为离心率为 $\sqrt{2}$ 的双曲线

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11. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作一条直线 $l$ 与抛物线相交于不同 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法中正确的是（）

A、 $| A B | = x_{1} + x_{2} + 2 p$ B、 $| A B |$ 的最小值为 $2 p$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ D、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

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12. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上， $A$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为椭圆的顶点， $F$ 为右焦点，延长 $B_{2} F$ 与 $A B_{1}$ 交于点 $P$ ，若 $∠ B_{1} P B_{2}$ 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点 $P$ 坐标为 $(\sqrt{5} ， m) (m > 0) ， F$ 为双曲线 $C$ 的右焦点，且 $P F$ 垂直于 $x$ 轴.过点 $P$ 分别作双曲线 $C$ 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率等于 $\frac{1}{3}$ ，则实数 $m =$ .

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15. 已知A，B是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{9}$ ，则椭圆的离心率为.

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16. 汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 $F P$ 经抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 反射后，沿 $P N$ 平行射出， $∠ F P N$ 的角平分线 $P M$ 所在的直线方程为 $2 x + y - 12 = 0$ ，则抛物线方程为．

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四、解答题

17. 已知直线x+y﹣1=0与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 $l ： y = \frac{1}{2} x$ 上．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

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18. 动点 $M (x ， y)$ 与定点 $F_{1} (5 ， 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l ： x = \frac{9}{5}$ 的距离的比是常数 $\frac{5}{3}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设 $F_{2} (- 5 ， 0)$ ，点 $P$ 为 $M$ 轨迹上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积．

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ ，点 $B$ 为此抛物线与椭圆 $C$ 在第一象限的交点，且 $| B F | = \frac{5}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，直线 $l_{2}$ 与直线 $x = 4$ 交于点 $T$ ，求 $\frac{| T F |}{| P Q |}$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，且长轴与短轴的比为 $\sqrt{2} ： 1$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、椭圆 $C$ 的上、下顶点分别为 $A 、 B$ ，点 $M$ 是椭圆上异于 $A ， B$ 的任意一点， $M N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ， $\overset{⇀}{M N} = \sqrt{2} \overset{⇀}{E N}$ ，直线 $A E$ 与直线 $y = - \sqrt{2}$ 交于点 $D$ ，点 $G$ 为线段 $B D$ 的中点，点 $O$ 为坐标原点，求证： $\overset{⇀}{O E} \cdot \overset{⇀}{E G}$ 恒为定值，并求出该定值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点为F₁（﹣2，0），F₂（2，0），点M（﹣2， $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ）在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F₂ ，与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|= $\sqrt{6}$ ，求直线l的方程；
②设点P（ $\frac{7}{3}$ ，0），证明： $\vec{P A}$ • $\vec{P B}$ 为定值，并求出该定值．

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22. 如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1，过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在定点 $E (0 ， \frac{11}{4})$ ，使 $\vec{A E}$ • $\vec{B E}$ 恒为定值．若存在求出这个定值；若不存在，说明理由．

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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