河北省保定市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. ${(1 - 2 i)}^{2} - {(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $- 3 - 2 i$ B、 $- 3 - 6 i$ C、 $3 - 2 i$ D、 $3 - 6 i$

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2. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (8 ， m)$ ，则（）

A、 $\exists m \in Z ， \vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $\exists m \in Z ， \vec{a} / / \vec{b}$ C、 $\forall m \in R ， \vec{a} \cdot \vec{b} \neq m$ D、 $\exists m \in R ， | \vec{a} | = | \vec{b} |$

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3. 设集合 $A ， B ， C$ 均为非空集合.（）

A、若 $A ∩ B = B ∩ C$ ，则 $A = C$ B、若 $A ∪ B = B ∪ C$ ，则 $A = C$ C、若 $A ∩ B = B ∪ C$ ，则 $C \subseteq B$ D、若 $A ∪ B = B ∩ C$ ，则 $C \subseteq B$

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4. 若 $P (0 ， 1)$ 为圆 $x^{2} + 2 x + y^{2} - 15 = 0$ 的弦 $M N$ 的中点，则直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $y = - 2 x + 1$

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5. 已知 $f (x)$ 为偶函数，且函数 $g (x) = x f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则不等式 $(1 - x) f (x - 1)$ $+ 2 x f (2 x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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6. 为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在 $A ， B$ 两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试（满分100分），这20名学生得分的折线图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（）

A、 $A$ 校学生分数的平均分大于 $B$ 校学生分数的平均分 B、 $A$ 校学生分数的众数大于 $B$ 校学生分数的众数 C、 $A$ 校学生分数的中位数等于 $B$ 校学生分数的中位数 D、 $A$ 校学生分数的方差大于 $B$ 校学生分数的方

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7. 已知函数 $f (x) = | s i n (x + \frac{π}{3}) |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $0 < f (l o g_{5} 4) < \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、 $f (l o g_{4} \frac{1}{3}) < f (l o g_{5} 2)$

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8. 为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线 $A B$ 与曲线 $C D$ ）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线 $A B$ 与曲线 $C D$ 中间最窄处间的距离为 $30 c m$ ，点 $A$ 与点 $C$ ，点 $B$ 与点 $D$ 均关于该双曲线的对称中心对称，且 $| A B | = 36 c m$ ，则 $| A D | =$ （）

A、 $12 \sqrt{10} c m$ B、 $6 \sqrt{38} c m$ C、 $38 c m$ D、 $6 \sqrt{37} c m$

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二、多选题

9. 若 $t a n α - \sqrt{3} = t a n 6 α + \sqrt{3} t a n α t a n 6 α$ ，则 $α$ 的值可能为（）

A、 $- \frac{π}{15}$ B、 $\frac{2 π}{15}$ C、 $\frac{4 π}{15}$ D、 $\frac{14 π}{15}$

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10. 如图， $M ， N$ 为正方体中所在棱的中点，过 $M ， N$ 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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11. 已知 $P (x ， y)$ 为曲线 $x = 2 \sqrt{y}$ 上一动点，则（）

A、 $\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}$ 的最小值为1 B、存在一个定点和一条定直线，使得 $P$ 到定点的距离等于 $P$ 到定直线的距离 C、 $P$ 到直线 $y = - x - 2$ 的距离的最小值小于 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2}}$ 的最小值为6

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12. 对于正整数 $n ， φ (n)$ 是小于或等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 $φ (9) = 6$ ，则（）

A、 $l o g_{7} φ (7^{7}) = 6 + l o g_{7} 6$ B、数列 ${φ (3^{n})}$ 为等比数列 C、数列 ${φ (2 n)}$ 单调递增 D、数列 ${\frac{n}{φ (2^{n})}}$ 的前 $n$ 项和恒小于4

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三、填空题

13. $x^{2} + 4 + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}$ 的最小值为.

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + l n x$ .的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为.

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15. 如图， $D E$ 是边长为4的等边三角形 $A B C$ 的中位线，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得点 $A$ 与 $P$ 重合，平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，则四棱雉 $P - B C D E$ 外接球的表面积是.

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16. 某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有 $A ， B ， C$ 三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.

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四、解答题

17. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ .现测得 $∠ B C D = α = 3 5^{∘} ， ∠ B D C = β = 10 0^{∘} ， C D = 400 m$ .在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $50 . 5^{∘}$ .

(1)、求 $B$ 与 $D$ 两点间的距离（结果精确到 $1 m$ ）；

(2)、求塔高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 12$ ，且数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 是公差为2的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} \cdot \frac{a_{n + 1} - 2 a_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $B C = 2 ， A B = 4 ， B D = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P D$ .

(2)、若 $P C = P D = \sqrt{13}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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20. 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数 $m$ 的分布列为
$m$
5
6
7
$P$
0.3
0.5
0.2
$X$ 表示2台设备使用期间需更换的零件数， $n$ 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在 $n = 11$ 和 $n = 12$ 中，应选哪一个？

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ .

(1)、若 $a \in (0 ， + \infty)$ ，讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， a)$ 上的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m (x - 1)^{2}$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值小于 $- \frac{2 e}{3}$ ，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $A (2 ， 0) ， B (1 ， 1) ， C (- 1 ， - 1) ， D (1 ， 2)$ 四个点中的三个.

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若 $M ， N$ 为 $E$ 上不同的两点， $O$ 为坐标原点，且 $\frac{\vec{B M}}{| \vec{B M} |} + \frac{\vec{B N}}{| \vec{B N} |}$ 与 $\vec{O A}$ 垂直，试问 $E$ 上是否存在点 $G$ （异于点 $A$ ），使得 $\vec{M N} / / \vec{A G}$ ？若存在，求点 $G$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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$m$	5	6	7
$P$	0.3	0.5	0.2