广东省汕头市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合A={x|x>1}，B={x|-1<2}，则A∪B=（）

A、{x|-1<x<2} B、{x|-1<x<2} C、{x|x>-1且x≠2} D、{x|x>-1}

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（）

A、 $\frac{7 + i}{2}$ B、 $\frac{7 - i}{2}$ C、 $\frac{1 + i}{2}$ D、 $\frac{1 - i}{2}$

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{5} = 0$ ， $a_{6} = 6$ ，则（）

A、 $a_{n} = 12 - n$ B、 $a_{10} = 16$ C、 $S_{n} = 2 n^{2} - 10 n$ D、 $S_{10} = 50$

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4. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{2} ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 某市场一推位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{8}{3} \sqrt{2}$ D、 $\frac{16}{3}$

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7. 已知 $a = 2^{\frac{3}{4}} ， b = 3^{\frac{1}{2}} ， c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、a<b<c B、c<a<b C、a<c<b D、c<b<a

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} + (a - 3) x + 1$ 在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、(-e，2) B、(-e，1-e) C、(1，2) D、 $(- ∞ ， 1 - e)$

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二、多选题

9. 某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A、该次数学史知识测试及格率超过90% B、该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C、该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D、若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名

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10. 对于函数 $f (x) = s i n x c o s x$ ， x∈R，则（）

A、f(x)的最大值为1 B、直线 $x = - \frac{3 π}{4}$ 为其对称轴 C、f(x)在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 为其对称中心

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11. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， E为CD的中点，AE与DB交于F，则（）

A、 $\vec{B F}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影为0 B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} = 2$ D、 $| \vec{A F} | = 2 \sqrt{7}$

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\overset{⇀}{D_{1} Q} = λ \overset{⇀}{D_{1} A_{1}} ， λ \in (0 ， 1)$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则（）

A、 $C N$ 与 $Q M$ 共面 B、三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟 $λ$ 的取值无关 C、 $λ = \frac{1}{3}$ 时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\frac{4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{13}}{3}$ D、 $λ = \frac{1}{4} 时， A M ⊥ Q M$

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三、填空题

13. 已知偶函数f(x)在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，若f(-1)=0，则满足f(m)>0的实数m的取值范围是．

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14. $(x + y) (x - y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为（用数字作答）．

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15. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为．

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3$ 且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2$ ，则 $a_{4} - a_{3} =$ ，数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 4 ， a_{2} a_{4} = 81$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $b_{n} = \frac{1}{l o g_{3} a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC．

(1)、求B；

(2)、若a=2， $b = \sqrt{6}$ ，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．

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19. 某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
购买金额（元）
[0，150）
[150，300）
[300，450）
[450，600）
[600，750）
[750，900]
人数
10
15
20
15
20
10
附：参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$
附表：
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

(1)、根据以上数据完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．

不少于600元
少于600元
合计
男
40
女
18
合计

(2)、为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数 $X$ （元）的分布列并求其数学期望．

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20. 如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱） $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $A_{1} D = 3 D B_{1}$ ．若AC=BC，

(1)、求证：平面 $C O D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面COD与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，又点 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若动直线 $l$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点，过点 $M (1 ， 0)$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，试探究： $| O Q |$ 是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值；

(2)、证明：有且只有两条直线与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象都相切.

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购买金额（元）	[0，150）	[150，300）	[300，450）	[450，600）	[600，750）	[750，900]
人数	10	15	20	15	20	10

$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

	不少于600元	少于600元	合计
男		40
女	18
合计