浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题37 三角函数及其应用

试卷更新日期：2022-01-15 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（）

A、sinA＝ $\frac{3}{4}$ B、cosA＝ $\frac{4}{5}$ C、cosB＝ $\frac{3}{4}$ D、tanB＝ $\frac{3}{5}$

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $\cos B$ =（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，△ABC中，cosB $= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，sinC $= \frac{3}{5}$ ，AC＝5，则△ABC的面积是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、12 C、14 D、21

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4. 如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．以点A为圆心，AD为半径作 $\overset{⌢}{D E}$ ，交边AB于点E，G是 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点，作GF∥BC交CD于点F，以点F为旋转中心，将线段FG按逆时针方向旋转90°至线段FG′，若点G′恰好落在边BC上，则AB的长为（）

A、 $\frac{11}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - \frac{4}{3}$

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5. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若AD=3，AC=2，则cosB的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 图1是一块矩形材料 $A B C D$ ，被分割成三块， $∠ A E B = 30 °$ ， $G F ⊥ A D$ ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则 $\frac{A B}{B C} = ($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3} - 3$

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7. 如图，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）

A、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{3 \pm \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3} \pm 2 \sqrt{2}}{6}$

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= $\frac{A C}{A B}$ =（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）

A、 $\frac{BD}{CB}$ B、 $\frac{CD}{CB}$ C、 $\frac{AC}{AB}$ D、 $\frac{AD}{AC}$

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10. 在△ABC中，∠C＝90°，AC= $\sqrt{2}$ ，AB= $\sqrt{5}$ ，则cosB的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{5}$

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11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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二、填空题

12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= $\frac{1}{2}$ AB，则tan∠ABC= ．

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13. 如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，若∠A＝60°，∠C＝45°，则AC＝．

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14. 如图1是超市手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm.

(1)、求扶手前端D到地面的距离为；

(2)、手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为.

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15. 如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D₁时，有AD₁=30cm，∠B₁D₁C₁=120°.

(1)、图2中，弓臂两端B₁ ， C₁的距离为cm.

(2)、如图3，将弓箭继续拉到点D₂ ，使弓臂B₂AC₂为半圆，则D₁D₂的长为cm.

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16. 如图所示，∠AOB=90°，则OA表示的方向是，点C在点O的方向上，要知道点A的位置，除了知道点A的象限角外，还需要知道点A

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17. 如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长是.

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三、综合题

18. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接DB，DF．

(1)、求∠CDE的度数．

(2)、求证：DF是⊙O的切线．

(3)、若tan∠ABD＝3时，求 $\frac{A C}{D E}$ 的值．

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19. 如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

(1)、sin²A₁＋sin²B₁＝；sin²A₂＋sin²B₂＝；sin²A₃＋sin²B₃＝；

(2)、观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin²A＋sin²B＝；

(3)、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A ， ∠B ， ∠C的对边分别是a ， b ， c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；

(4)、已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝ $\frac{5}{13}$ ，求sinB.

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20. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， $cos ∠ A D E = \frac{3}{5}$ ，AB＝3，

(1)、求AD的值；

(2)、直接写出 $S_{Δ D E C}$ 的值

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21. 如图，△ABC中，AB＝BC．

(1)、用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求 $cosA$ 的值.

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22. 在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

(1)、求证：四边形BFDE是矩形；

(2)、若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．

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23. 如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东 $68^{\circ}$ 方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东 $30^{\circ}$ 相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：

(1)、C到AB的最短距离是多少？

(2)、救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据： $\sin 38^{\circ} \approx 0.62$ ， $\cos 38^{\circ} \approx 0.79$ ， $\sin 22^{\circ} \approx 0.37$ ， $\cos 22^{\circ} \approx 0.93$ ， $\sin 37^{\circ} \approx 0.60$ ， $\cos 37^{\circ} \approx 0.80$ ）

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24. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．

(1)、求景点B与C的距离；

(2)、为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

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25. 如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ，△ADP沿点A旋转至△ABP’，连接PP’，并延长AP与BC相交于点Q．

(1)、求证：△APP’是等腰直角三角形；

(2)、求∠BPQ的大小；

(3)、求CQ的长．

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26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE= $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求△AOC的面积；

(3)、直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

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27. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ} ， A B = 10 ， B C = 6$ ，点 $P$ 以每秒2个单位长度的速度从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 方向向终点 $B$ 匀速运动，同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $C A$ 方向向终点 $A$ 匀速运动，连结 $P Q$ . 设运动的时间为 $t$ 秒.

(1)、求 $A Q$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）.

(2)、当 $t = 3$ 秒时，求 $△ A P Q$ 的面积.

(3)、①如图 2，连结 $B Q$ ，当 $△ B P Q$ 为直角三角形时，求所有满足条件 $t$ 的值.
② 如图3，当点 $P$ 关于 $A C$ 的对称点 $P^{'}$ 落在直线 $B Q$ 上时，求 $\frac{P Q}{B Q}$ 的值.

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28. 如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B分别为直线y＝- $\frac{3}{4}$ x+6与x轴、y轴的交点.动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的交点分别为C、D，连接CD、QC.

(1)、求当t为何值时，点Q与点D重合？

(2)、设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

(3)、若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围.

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29. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．

(1)、直接写出∠NDE的度数；

(2)、如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

(3)、如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ ，其他条件不变，求线段AM的长．

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30. 如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（ $\sqrt{6}$ ，0）与点B（0，﹣ $\sqrt{2}$ ），点D在劣弧 $\overset{⌢}{O A}$ 上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．

(1)、求⊙M的半径；

(2)、求证：BD平分∠ABO；

(3)、在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

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