四川省达州市通川区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-01-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )

A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等

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2. 把方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（）

A、2，7 B、2，5 C、 $- 2$ ， 7 D、 $- 2$ ， 5

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3. 若 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} \neq 0$ ，则 $\frac{x - z}{y}$ 的值为（）.

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- \frac{6}{7}$ D、 $\frac{10}{3}$

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4. 如图所示的几何体，其左视图是（）.

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $m < 0$ ，则函数 $y = \frac{m}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 问题：已知方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半.
解：设所求方程的根为 $y$ ，则 $y = \frac{x}{2}$ ，所以 $x = 2 y$ .把 $x = 2 y$ 代入已知方程，得 ${(2 y)}^{2} + 2 y - 3 = 0$ ，化简，得所求方程为 $4 y^{2} + 2 y - 3 = 0$ .这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
应用：已知方程 $4 x^{2} - x - 15 = 0$ ，求一个关于 $y$ 的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（）

A、 $4 y^{2} + y - 15 = 0$ B、 $4 y^{2} + y + 15 = 0$ C、 $15 y^{2} + y - 4 = 0$ D、 $15 y^{2} - y - 4 = 0$

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7. 对于反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ ， ①这个函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，②这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，③点 $(- 2 ， - 2)$ 不在这个函数图象上，④若点 $A (a ， b)$ 和点 $B (a + 2 ， c)$ 在该函数图象上，则 $c > b$ .上述四个判断中，不正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH.若量得 $C E = 1.2$ 米， $E H = 1.5$ 米，则立柱CD的高为（）.

A、2.5m B、2.7m C、3m D、3.6m

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9. 如图，函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象经过 $R t △ A B O$ 斜边OB的中点C，连结AC.如果 $A C = 3$ ，那么 $△ A B O$ 的周长为（）.

A、 $6 + 2 \sqrt{5}$ B、 $6 + 2 \sqrt{10}$ C、 $6 + 2 \sqrt{11}$ D、 $6 + 2 \sqrt{13}$

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10. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， $A E = A D$ ， EC分别交AD，BD于点F，G，若 $A F = A B$ ，则 $A D ： A B$ 的值为（）.

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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二、填空题

11. 计算： $\cos 30 ° =$ .

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12. 在不透明的口袋里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外完全相同.从口袋里随机摸出一个棋子，摸到黑球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则白色棋子个数为.

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13. 如图，过 $y$ 轴正半轴上的任意一点 $P$ ，作 $x$ 轴的平行线，分别与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 和 $y = \frac{8}{x}$ 的图象交于点 $A$ 和点 $B$ ，若点 $C$ 是 $x$ 轴上任意一点，连接 $A C$ ， $B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. 如图，有一块长 $21 m ，$ 宽 $10 m$ 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为 $90 m^{2}$ .设人行通道的宽度为 $x m$ ，根据题意可列方程：.

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15. 如图，在正方形ABCD中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O ， E$ 是OB的中点，连接AE并延长交BC于点 $F ，$ 若 $Δ B E F$ 的面积为1，则正方形ABCD的面积为.

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16. 如图1，动点 $P$ 从菱形ABCD的顶点 $A$ 出发，沿 $A \to C \to D$ 以 $1 c m / s$ 的速度运动到点D停止.设点 $P$ 的运动时间为 $x (s) ， △ P A B$ 的面积为 $y (c m^{2})$ .表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象如图2所示，则 $a$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知：关于x的方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ .

(1)、不解方程：判断方程根的情况；

(2)、若方程有一个根为1，求m的值.

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18. 如图，A型、B型、C型三张矩形卡片的边长如图所示，将三张矩形卡片分别放入三个信封中，三个信封的外表完全相同；

(1)、从这三个信封中随机抽取1个信封，则抽中A型矩形的概率为；

(2)、先从这三个信封中随机抽取1个信封（不放回），再从余下的两个信封中随机抽取1个信封，求事件“两次抽中的矩形卡片能拼成（无重叠无缝隙）一个新矩形”发生的概率.（列表法或树状图）

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19. 一个几何体的三种视图如图所示，

(1)、这个几何体的名称是，其侧面积为；

(2)、在右面方格图中画出它的一种表面展开图；

(3)、求出左视图中AB的长.

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20. 某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？

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21. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知 $B C = 8 c m$ ， $A B = 16 c m$ .当AB，BC转动到 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ 时，求点C到AE的距离.（结果保留小数点后一位，参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得 $A E = C G$ ， BF=DH，连接EF，FG，GH，HE.

(1)、判断四边形EFGH的形状，并证明；

(2)、若矩形ABCD是边长为1的正方形，且 $∠ F E B = 45 °$ ， $t a n ∠ A E H = 2$ ，求AE的长.

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23. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）.

(1)、分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式.

(2)、上课后的第5分钟与第30分钟相比较，分钟时学生的注意力更集中.

(3)、一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象过点 $B (0 ， - 4)$ ，且与函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $A (m ， 2)$ .

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、若P是x轴上一点， $△ P A B$ 的面积是5，请求出点P的坐标；

(3)、直接写出不等式 $k x + b \geq - \frac{4}{x}$ 的解集.

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25. 如图

(1)、证明命题：若直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x + b_{2}$ 互相垂直，则 $k_{1} k_{2} = - 1$ .我们可以先证明“直线 $y = k_{1} x$ 与直线 $y = k_{2} x$ 互相垂直时， $k_{1} k_{2} = - 1$ .”请利用图1完成证明.

(2)、应用命题：如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， BC在x轴上，点A在y轴正半轴上.
①求线段AB的垂直平分线的解析式；

②点M在平面直角坐标系内，点F在直线AC上，以A，B，F，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标.

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