备考2022年中考数学一轮复习专题：相似三角形及其应用

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 如图，直线a，b，c被直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知 $a / / b / / c$ ，且 $A C = 3$ ， $C E = 4$ ，则 $\frac{B D}{B F}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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3. 如图，以点 $O$ 为位似中心，把 $Δ A B C$ 放大为原图形的2倍得到 $Δ A B C$ ，若 $Δ A B C$ 与 $Δ A B C$ 的位似比为 $k$ ，则以下结论中正确的是（）

A、 $k = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $k = \frac{1}{2}$ D、 $k = - \frac{1}{2}$

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $D C$ 上， $E C ： D E = 1 ： 3$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，则 $Δ D E F$ 的面积与 $Δ B A F$ 的面积之比为（）

A、 $1 ： 3$ B、 $1 ： 9$ C、 $3 ： 4$ D、 $9 ： 16$

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5. 如图，在边长为9cm的等边三角形ABC中，D为BC上一点，且BD=3cm，E在AC上，∠ADE=60°，则AE的长为（）

A、2cm B、5cm C、6cm D、7cm

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6. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（）

A、7.5 B、7.8 C、9 D、9.6

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ C A D = ∠ B$ .若 $Δ A D C$ 的面积为 $a$ ，则 $Δ A B D$ 的面积为（）

A、 $2 a$ B、 $\frac{5}{2} a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{7}{2} a$

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8. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $D E ： A D = 1 ： 3$ ，连结EF交DC于点G，则 $S_{△ D E G} ： S_{Δ C F G}$ ＝（）

A、2：3 B、3：2 C、9：4 D、4：9

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9. 如图， $A B$ ， $C D$ 相交于点 $E$ ，且 $A C / / E F / / D B$ ，点 $C$ ， $F$ ， $B$ 在同一条直线上．已知 $A C = p$ ， $E F = r$ ， $D B = q$ ，则 $p$ ， $q$ ， $r$ 之间满足的数量关系式是（）

A、 $\frac{1}{r} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p}$ B、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{r} = \frac{2}{q}$ C、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$ D、 $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{2}{p}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 与正方形 $B E F G$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{3}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $E$ 在 $x$ 轴上，若正方形 $B E F G$ 的边长为6，则 $C$ 点坐标为（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(2 ， 2)$ D、 $(4 ， 2)$

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二、填空题

11. 点C是线段AB的黄金分割点， $A C > B C$ ，如果线段AB的长度为2，则AC的长为．

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12. 若两个相似三角形的相似比是5：7，则它们的对应高线的比是．

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13. 如图，点 $P$ 在 $Δ A B C$ 的边 $A C$ 上，要判断 $Δ A B P ∼ Δ A C B$ ，还请你添加一个条件：.

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14. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{3} (b + d + f \neq 0)$ ，则 $\frac{a + c - 2 e}{b + d - 2 f} =$ .

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果CD＝4，那么AD•BD的值是.

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16. 七边形 $A B C D E F G$ 位似于七边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} G_{1}$ ，它们的面积比为4∶9，已知位似中心O到A的距离为6，那么O到 $A_{1}$ 的距离为.

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三、综合题

17. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝ $\frac{3}{4}$ ，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、当AB∥DE时（如图2），求AE的长.（提示：过点A作AH⊥BC交BC于点H）

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18. 如图， $Δ A B C$ 为锐角三角形， $A D$ 是边 $B C$ 上的高，正方形 $E F G H$ 的一边在 $B C$ 上，顶点G，H分别在 $A C$ ， $A B$ 上，已知 $B C = 30 c m$ ， $A D = 20 c m$ .

(1)、求证： $△ A H G ∽ △ A B C$ ；

(2)、求正方形 $E F G H$ 的面积

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19. 如图，平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），点 $B$ 坐标是 $(3 ， 0)$ ．抛物线与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点 $P$ 是抛物线的顶点，连接 $P C$ ．

(1)、求抛物线的解析式并直接写出顶点 $P$ 的坐标．

(2)、直线 $B C$ 与抛物线对称轴交于点 $D$ ，点 $Q$ 为直线 $B C$ 上一动点．
①当 $Δ Q A B$ 的面积等于 $Δ P C D$ 面积的2倍时，求点 $Q$ 的坐标；

②在①的条件下，当点 $Q$ 在 $x$ 轴上方时，过点 $Q$ 作直线 $l$ 垂直于 $A Q$ ，直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3}$ 交直线 $l$ 于点 $F$ ，点 $G$ 在直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3}$ 上，且 $A G = A Q$ 时，求 $G F$ 的长．

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20. 如图，在 $△$ ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．

(1)、写出图中所有与 $△$ ACD相似的三角形（全等除外）；

(2)、连接DE，求证： $△$ ABF∽△EDF．

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21. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG平分∠BAC，线段AG分别交线段DE、BC于点F、G．

(1)、求证： $\frac{A D}{A C} = \frac{D F}{C G}$ ；

(2)、若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{E F}{B G}$ 的值；

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22. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点．过点 $C$ 作射线 $C M$ 交 $A B$ 于点 $P$ （点 $P$ 不与点 $D$ 重合），过点 $B$ 作 $B E ⊥ C M$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交 $C M$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $D E = D F$ ；

(2)、如图2，若 $A E = A C$ ，连接 $A F$ 并延长到点 $G$ ，使 $F G = A F$ ，连接 $C G$ ， $E G$ ，求证：四边形 $A C G E$ 为菱形；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{A P}{B P}$ 的值．

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23. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明 $△ A B E ∽ △ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ， $B E = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE．

(1)、如图1，当B，D，E三点共线时，求证： $∠ B E C = ∠ D A E$ ；

(2)、如图2，当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F，求证： $A D \cdot C G = E G \cdot F C$ ．

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25. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，AC、BC的长恰好为方程 $x^{2} - 14 x + a = 0$ 的两根，且 $A C - B C = 2$ ，D为AB的中点．

(1)、求a的值．

(2)、动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设 $△ P C Q$ 的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

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26. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．

(1)、如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；

(2)、当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；

②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．

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27. 已知：如图，点A ， B ， C三点在⊙O上，AE平分∠BAC ，交⊙O于点E ，交BC于点D ，过点E作直线l∥BC ，连结BE ．

(1)、求证：直线l是⊙O的切线；．

(2)、如果∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝8，求AE的长．

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28. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $Δ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ .

(1)、求 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的周长为90，求各边的长.

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