备考2022年中考数学一轮复习专题：菱形

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 菱形和矩形都具有的性质是（）

A、四条边相等 B、四个角相等 C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分

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2. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD周长是（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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3. 如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（）

A、AB＝ $\sqrt{2}$ EF B、AB＝2EF C、AB＝ $\sqrt{3}$ EF D、AB＝ $\sqrt{5}$ EF

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4. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 $A E$ 间的距离，若 $A E$ 间的距离调节到60 $c m$ ，菱形的边长 $A B = 20 c m$ ，则 $∠ D A B$ 的度数是（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5. 菱形的周长是24，两邻角的度数之比是1：2，那么较短的对角线的长是（）

A、3 B、5 C、6 D、6.5

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6. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $△ A E F$ 为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $B D = 12$ ， $A C = 10$ ，则该菱形的面积为（）．

A、60 B、80 C、100 D、120

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8. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A、两组对边分别平行且相等 B、邻角互补 C、对角线相等 D、对角线互相垂直

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9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（　　）cm²

A、16 $\sqrt{3}$ B、32 $\sqrt{3}$ C、64 $\sqrt{3}$ D、32 $\sqrt{2}$

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10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，点E是AB边上一点，将△ADE沿直线DE折叠，得到△FDE，连接FC，EC.若四边形DECF是菱形，则BE的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4﹣ $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $P$ 是对角线 $A C$ 上一动点过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于 $E$ ． $P F ⊥ A B$ 于点 $F$ ．若菱形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，面积为 $24$ ，则 $P E + P F$ 的值为．

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12. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ B A D^{'} = 30 °$ ，且菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积为16，则正方形ABCD的面积为．

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13. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．

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14. 如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=°.

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15. 如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD＝60°，过点O的直线EF交AD于点E ，交BC于点F ，当∠EOD=30°时，CE的长是．

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16. 在菱形ABCD中， $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当 $△ P A D$ 是等腰三角形时，BP的长为．

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三、综合题

17. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作 $D E ∥ A C$ 且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接AE交OD于点F，连接OE

(1)、求证： $O E = A B$ ；

(2)、若菱形ABCD的边长为4， $∠ A B C = 60 °$ ，求AE的长．

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18. 在 $▱ A B C D$ 中，AE平分 $∠ B A D$ ，交BC于点E，BF平分 $∠ A B C$ ，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF、OC．

(1)、求证：四边形ABEF是菱形；

(2)、若点E为BC的中点，且 $B C = 8$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求OC的长．

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19. 如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．

(1)、求证四边形AECF是正方形；

(2)、若BD=4，BE=3，求菱形ABCD的面积．

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20. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

(1)、证明：四边形ADCF是菱形；

(2)、若AC＝4，AB＝5，求出菱形ADCF的面积．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，点E、F分别在OD、BO上，且OE＝OF ，连接AE、CF ．

(1)、求证：△ADE≌△CBF ．

(2)、连接AF、CE ，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊的四边形？请说明理由．

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22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ， E是CD中点，连接OE ．过点C作CF $//$ BD交OE的延长线于点F ，连接DF ．

(1)、求证：四边形OCFD是矩形；

(2)、若DF＝2，CF＝3，求菱形ABCD的面积．

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23. 如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E ， F是AD的中点，FG⊥BC于点G ，与DE交于点H ，若FG＝AF ， AG平分∠CAB ，连接GE ， GD ．

(1)、求证：△ECG≌△GHD；

(2)、当∠B为多少度时，四边形AEGF是否为菱形，请说明理由．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D为 $A B$ 边上的一点以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E，过点C作 $C G ⊥ A B$ ，垂足为G，交 $A E$ 于点F，过点E作 $E P ⊥ A B$ ，垂足为P， $∠ E A D = ∠ D E B$ .

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = E P$ ， $C G = 12$ ， $A C = 15$ ，求四边形 $C F P E$ 的面积.

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25. 已知四边形ABCD是正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧）， $P D = P G$ ， $D F ⊥ P G$ 于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

(1)、求证： $D F = P G$ ；

(2)、求证：四边形PEFD是菱形；

(3)、若 $A B = 3$ ， $P C = 1$ ．求四边形PEFD的面积．

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26. （问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：

图1 图2 图3

(1)、若四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 是射线 $B D$ 上一动点，以 $A P$ 为边向右侧作等边 $△ A P E$ ，如图1，当点E在菱形 $A B C D$ 内部或边上时，连接 $C E 、 C A$ ，则 $B P$ 与 $C E$ 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

(2)、（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
若四边形 $A B C D$ 是正方形，点P是射线 $B D$ 上一动点，以 $A P$ 为直角边在 $A P$ 边的右侧作等腰 $R t △ A P E$ ，其中 $∠ A P E = 90 ° ， A P = P E$ .

①如图2，当点 $P$ 在对角线 $B D$ 上时，小组发现点 $E$ 恰好在射线 $C D$ 上，求 $B P$ 与 $C E$ 之间的数量关系（过程只用说明点 $E$ 在线段 $C D$ 上的情况即可）；

②如图3，当P是对角线 $B D$ 的延长线上一动点时，小组发现点 $E$ 恰好在射线 $C D$ 上，连接 $B E$ ，若 $B E = 6 ， A B = 2$ ，求 $△ B P E$ 的面积．

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27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点C的直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A，B.点E是AC的中点，点D的坐标是（﹣ $\frac{4}{3}$ ，0）.连结OE交CD于F.

(1)、求点A，F的坐标；

(2)、若∠ACD＝∠OCB，求k的值；

(3)、在（2）的条件下，过点F作直线l垂直于x轴，设点M在直线y＝kx+4上，点N在x轴上，问：直线l上是否存在点H，使得以B，M，N，H为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点H的坐标；若不存在，说明理由.

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28. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，点 $O$ 是对角线 $B D$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交 $A B$ 、 $C D$ 边于点 $E$ 、 $F$ .

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形；

(2)、当 $D E = D F$ 时，求四边形 $D E B F$ 的面积.

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