备考2022年中考数学一轮复习专题：角平分线与线段垂直平分线

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图 $△$ ABC≌ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，边 $B^{'} C^{'}$ 过点A且平分∠BAC交BC于点D ， ∠B=26°， $∠ C D B^{'}$ =94°，则 $∠ C^{'}$ 的度数为（）

A、34° B、40° C、45° D、60°

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2. 如图，在 $△$ ABC中，AD平分∠BAC ， $D E // A C$ ，AB=7cm，BD=3cm，则 $△$ BDE的周长为（）

A、13cm B、10cm C、4cm D、7cm

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3. 如图，在 $△$ ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P ，过点P作PF⊥BC于点F ， PE⊥AB交BA的延长线于点E ． AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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4. 如图，已知△ABC，∠ABC=2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E. F，分别以E. F为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点，则下列说法错误的是（）

A、∠ADB=∠ABC B、AB=BD C、AC=AD+BD D、∠ABD=∠BCD

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5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E ， S_△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．

A、在 AC、BC 两边高线的交点处 B、在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C、在 AC、BC 两边中线的交点处 D、在∠A、∠B两内角平分线的交点处

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7. 如图，在 $R t Δ A B C$ 的斜边 $B C$ 上截取 $C D = C A$ ，过点D作 $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点E。若点E恰好为 $A B$ 的中点，则下列结论中错误的是（）

A、 $D B = D A$ B、 $D A = D C$ C、 $∠ B = 30 °$ D、 $S_{Δ A D C} = \frac{1}{3} A B \cdot A C$

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8. 如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ADC的周长为13cm，则AE的长为（）

A、3cm B、4cm C、6cm D、8cm

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9. 如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径画弧，两弧相交于M ， N ，作直线MN ，交BC于D ，连接AD ，则∠BAD的度数是（）

A、50° B、60° C、65° D、75°

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A E = 3 cm$ ， $△ A B D$ 的周长为 $13cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长是（）．

A、 $13cm$ B、 $16cm$ C、 $19cm$ D、 $22cm$

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二、填空题

11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，边 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 于点D， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $∠ B =$ $°$ ．

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12. 如图，AD平分∠BAC ， DE $∥$ AB ， DF⊥AB ．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为．

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13. 如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD ， ∠A＝80°，∠B＝30°，则∠ACE的大小为．

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14. 如图，等腰△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BDC的周长是．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．

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16. 如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC=130°，则∠EAF= ．

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三、综合题

17. 如图，在△ABC中，D ， E分别是BC和AB上的点，AD、CE相交于F ．

(1)、若AD ， CE分别平分∠BAC和∠ACB ，已知∠B＝40°，求∠AFE的度数；

(2)、设BC＝a ， AC＝b ， AB＝c ，若△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，求AE和BD的长．（用含a、b、c的式子表示）

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18. $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，从点 $A$ 作 $A E ∥ B C$ 交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 40 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、点 $F$ 是 $B E$ 上一点，且 $F E = B D$ ．取 $D F$ 的中点 $H$ ，请问 $A H ⊥ B E$ 吗？试说明理由．

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19.

(1)、我们已经知道，在 $Δ A B C$ 中，如果 $A B = A C$ ，则 $∠ B = ∠ C$ ，下面我们继续研究：如图①，在 $Δ A B C$ 中，如果 $A B > A C$ ，则 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的大小关系如何？为此，我们把 $A C$ 沿 $∠ B A C$ 的平分线翻折，因为 $A B > A C$ ，所以点 $C$ 落在 $A B$ 边的点 $D$ 处，如图②所示，然后把纸展平，连接 $D E$ ，接下来，你能推出 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的大小关系了吗？试写出说理过程.

(2)、如图③，在 $Δ A B C$ 中， $A E$ 是角平分线，且 $∠ C = 2 ∠ B$ ，求证： $A B = A C + C E$ .

(3)、在（2）的条件下，若点 $P$ 、 $F$ 分别为 $A E$ 、 $A C$ 上的动点，且 $S_{Δ A B C} = 15$ ， $A B = 8$ ，则 $P F + P C$ 的最小值为.

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20. 在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

(1)、求：∠ABC+∠ADC＝°；

(2)、如图①，若DE平分∠ADC ， BF平分∠CBM ，写出DE与BF的位置关系．

(3)、如图②，若BF ， DE分别平分∠ABC ， ∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，对（2）和（3）任选一个加以证明．

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21. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

(1)、∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；

(2)、尺规作图：过点E作EF⊥BC ，垂足为F（保留作图痕迹）；

(3)、在（2）的条件下，若△ABC的面积为40，BC＝10，求EF的长．

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22.

(1)、[证明体验]
如图13-1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC=60°，点E在AB上，AE=AC．求证：DE平分∠ADB．

(2)、[思考探究]
如图13-2，在(1)的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB=FC，DG=2，CD=3，求BD的长．

(3)、[拓展延伸]
如图13-3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC上，∠EDC=∠ABC．若BC=5，CD=2 $\sqrt{5}$ ，AD=2AE，求AC的长．

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23. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， DE垂直平分AB ，交边AB于点D ，交边AC于点E ， BF垂直平分CE ，交AC于点F ，连接BE ．

(1)、求证：AE＝BC；

(2)、求∠A的度数．

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24. 尺规作图，如图，已知三角形△ABC ．

(1)、尺规作图，作BC的垂直平分线DE ，分别交AB于D、交BC于E（不要求写作法，保留作图痕迹）

(2)、连结CD ，若BE＝5，△ACD的周长为12，求△ABC的周长．

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25. 如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $N$ ，交 $B C$ 或 $B C$ 的延长线于点 $M$ ．

(1)、如图1所示，若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ N M B$ 的大小；

(2)、如图2所示，如果将（1）中的 $∠ A$ 的度数改为 $70 °$ ，其余条件不变，再求 $∠ N M B$ 的大小；

(3)、你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D ，交 $A C$ 于点E ，连接 $B E$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 68 °$ ，求 $∠ A E D$ 的度数；

(2)、若点P为直线 $D E$ 上一点， $A B = 8 ， B C = 6$ ，求 $△ P B C$ 周长的最小值．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，连结 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，若 $△ A D E$ 的周长为 $8cm$ ， $△ O B C$ 的周长为 $20 cm$ ．

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、求线段 $O A$ 的长．

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28. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB交BC于点E，CD交AE于点F．

(1)、求证：△AEB∽△CDB．

(2)、若AE⊥CD，求AC：BC的值．

(3)、若DF＝2EF＝4，求AF的值．

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29. 下面是小明解决一道课本练习题的过程及反思，请认真阅读并完成相应学习任务．
一道课后练习题的解答与思考：如图，要测量池塘两岸相対两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？

理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°．

∴在 $△$ ABC和 $△$ EDC中，

${\begin{array}{l} ∠ A B C = ∠ E D C \\ B C = D C \\ ∠ A C B = ∠ E C D \end{array}$

∴ $△$ ABC≌ $△$ EDC（依据1）

∵AB＝ED（依据2）

∴测得DE的长就是AB的长．

反思：由于本题中AB $∥$ ED，且C为BD的中点，因而可以用全等三角形的有关知识把AB的长度转化为DE的长度．所以当我们遇到“平行线和中点”的有关问题时，常常可以构造“X”型全等三角形解决问题，达到转化线段或角的目的．

(1)、任务一：上述材料中的依据1，依据2分别指的是什么？
①依据1：；

②依据2：．

(2)、任务二：如图，四边形ABCD中，AD $∥$ BC，点E是CD的中点，AE⊥BE．求证：AB＝AD＋BC．

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