备考2022年中考数学一轮复习专题：二次函数的图象与性质

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 抛物线y=-（x-1）²向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（）

A、y=-（x+1）² B、y=-（x-3）² C、y=-（x-1）²+2 D、y=-（x-1）²-2

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2. 已知三个点（-1，y₁），（1，y₂），（4，y₃）都在二次函数y=x²-4x+c的图象上，那么y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系正确是（）

A、y₁<y₂<y₃ B、y₂<y₁<y₃ C、y₂＜y₃＜y₁ D、y₃＜y₂<y₁

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3. 已知抛物线y=ax²-2ax+3不经过第四象限。当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是（）

A、-3 B、3 C、4 D、12

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4. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：

x

…

0

$\sqrt{5}$

4

…

y

…

0.37

﹣1

0.37

…

则方程ax²+bx+1.37＝0的根是（）

A、0或4 B、 $\sqrt{5}$ 或 $4 - \sqrt{5}$ C、1或5 D、无实根

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5. 已知（-3，y₁），（-2，y₃），（1，y₃）是二次函数y=-2x²-8x+m图象上的点，则（）

A、y₂>y₁>y₃ B、y₂>y₃>y₁ C、y₁<y₂<y₃ D、y₃<y₂<y₁

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6. 若二次函数y=ax²（a≠0）的图象过点（-2，-3），则必在该图象上的点还有（）

A、(-3，-2) B、(2，3) C、(2，3) D、(-2，3)

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7. 抛物线 y=-2x²+8x-5 的对称轴是（）

A、x=2 B、x=-2 C、x=4 D、x=-4

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8. 如图，抛物线 y=ax²+bx+c ，下列结论：① a＞0 ；② b²-4ac ＞0；③4a+b=0 ；④不等式ax²+(b-1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 把y＝ $\frac{1}{2}$ x²﹣2x+1写成y＝a（x﹣h）²+k的形式是（）

A、 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 1$ B、 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{2}$ D、 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 3$

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10. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂ ，有下列结论：①当x₁＞x₂+2时，S₁＞S₂；②当x₁＜2﹣x₂时，S₁＜S₂；③当|x₁﹣2|＞|x₂﹣2|＞1时，S₁＞S₂；④当|x₁﹣2|＞|x₂+2|＞1时，S₁＜S₂。其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 已知抛物线y=ax²+bx-5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为（-1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是.

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12. 数y=ax²+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y₁），Q（ $\frac{5}{2}$ ，y₂）是函数图象上的两点，则y₁＞y₂；③a=﹣ $\frac{1}{3}$ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣ $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）

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13. 已知抛物线y=x²-k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax²（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．

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15. 如图，已知抛物线y₁=﹣x²+4x和直线y₂=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y₁和y₂ ，若y₁≠y₂ ，取y₁和y₂中较小值为M；若y₁=y₂ ，记M=y₁=y₂ ． ①当x＞2时，M=y₂；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．

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16. 如图抛物线y=x²+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．

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三、综合题

17. 如图，抛物线y=x²-2x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3）.

(1)、求AB的长.

(2)、将点A向上平移n个单位至点E，过点E作DF∥x轴，交抛物线与点D，F.当DF=6时，求n的值.

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18. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.

(1)、求线下和网上的销售量分别是多少.

(2)、该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？

②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的 $\frac{1}{3}$ ，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？

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19. 已知抛物线y=-x²+bx+c经过点（0，1），（1，-4）。

(1)、求抛物线的表达式和顶点坐标

(2)、若（-5，y），（m，y₂）是抛物线上不同的两点，且y₁+y₂=-8，求m的值.

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20. 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

(1)、若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的表达式；

(2)、已知点P（x₀ ， m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围．

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21. 物线与x轴交于A．B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=- $\frac{1}{2}$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

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22. 于x的一元二次方程x²+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．

(1)、求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)、已知函数y=x²+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；

(3)、若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．

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23. 销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

(1)、写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；

(2)、超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

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24. 在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B，C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，抛物线y=ax²+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣ $\frac{1}{3}$ x+1与y轴交于点D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、证明：△DBO∽△EBC；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

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26. 如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

(3)、若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

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27. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=- $\frac{1}{6}$ x²+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面0A的距离为 $\frac{17}{2}$ m．

(1)、求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)、一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过?

(3)、在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?

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28. 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M’．

(1)、求抛物线的解析式

(2)、若直线AM’与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

(3)、是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形?若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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29. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA= $\sqrt{3}$ ，抛物线y=ax²-ax-a经过点B(2， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ )，与y轴交于点D

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由·

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x	…	0	$\sqrt{5}$	4	…
y	…	0.37	﹣1	0.37	…