浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题44 定义新运算

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\times$ 1=2， 3!=3 $\times$ 2 $\times$ 1=6，……，则 $\frac{100 ！}{98 ！}$ 的值为（）

A、 $\frac{100}{98}$ B、99！ C、9900 D、 2！

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2. 现规定一种新运算“*”：a*b＝（a﹣b）﹣|b﹣a|．则（﹣3）*2的值为（ )

A、10 B、0 C、-10 D、12

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3. 对于有理数a、b定义一种新运算“⊙"；规定： a⊙b =|a+b|+|a-b|则2⊙(-4)的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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4. 已知a ， b是实数，定义：a※b＝ab+a+b ．若m是常数x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（）

A、方程一定有实数根 B、当m取某些值时，方程没有实数根 C、方程一定有两个实数根 D、方程一定有两个不相等的实数根

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5. 若存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转 $180 °$ 后能与另一个部分重合，则我们把这个图形叫做旋转重合图形.下列图形中，属于旋转重合图形的是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、平行四边形 D、正五边形

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6. 现规定一种运算：a※b=ab+a-b，其中a，b为实数，则 $\sqrt{16}$ ※ $^{3} \sqrt{- 8}$ 等于（）

A、-6 B、-2 C、2 D、6

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7. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1，现对72进行如下操作：72→[ $\sqrt{72}$ ]=8→[ $\sqrt{8}$ ]=2→[ $\sqrt{2}$ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 定义运算 $\frac{\overset{p}{-}}{\bar{q}} = \frac{p - 1}{q - 1}$ ，若p≠1，q≠1，则下列等式中不正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新有理数：a²+b+1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到3²+（-2）+1=8．现将数对（-m，n）和数对（m，-n）分别放入其中，若得到的新有理数的值分别为x和y，则（x+y）是（）

A、正数 B、非负数 C、0 D、负数

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10. 定义运算a⊕b=a（1﹣b），下面给出了这种运算的四个结论：①2⊕（﹣2）=6；②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；③a⊕b=b⊕a；④若a⊕b=0，则a=0或b=1．其中结论正确的有（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②④

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二、填空题

11. 符号“ $Σ$ ”表示和，如 $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} 3 a_{i} - \sum_{i = 1}^{5} (2 a_{i} - 3) - \sum_{i = 1}^{5} a_{i} =$ .

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12. 对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“*”为（a，b）*（c，d）＝（ac，bd）；运算“⨁”为（a，b）⨁（c，d）＝（a+c，b+d）．若（1，2）*（p，q）＝（2，﹣4），则（1，2）⨁（p，q）＝．

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13. 我们把[a，b]称为-次函数y=ax+b的“特征数”．如果“特征数"是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为

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14. 定义：[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c(a，b，c为实数)的“关联数”．若“关联数”为[m-2，m，1]的函数为一次函数，则m的值为

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15. 在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b时，a*b=b²；当a<b时，a*b=a．那么，当x=2时，(1 * x)·x-(3* x)=(“·”和“-”仍为实数运算中的乘号和减号)

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16. 材料一：对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到M'，则称M'为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为 $F_{(M)}$ ．
例如523为325的“倒序数”， $F_{(325)}$ ＝ $| \frac{325 - 523}{99} |$ ＝2；

材料二：对于任意三位数 $\bar{a b c}$ 满足，c＞a，则称这个数为“登高数”．

(1)、 $F_{(147)}$ ＝；

(2)、任意三位数M＝ $\bar{a b c}$ ，求 $F_{(M)}$ 的值是．

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三、综合题

17. 符号“ $| \begin{array}{l} a b \\ c^{} d \end{array} |$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法规为： $| \begin{array}{l} a^{} b \\ c^{} d \end{array} |$ =ad-bc

(1)、计算： $| \begin{array}{l} 2^{} 4 \\ 3^{} 5 \end{array} |$ =；（直接写出答案）

(2)、化简二阶行列式： $| \begin{array}{l} 2 b^{} 0.5 a - b \\ 4 b^{} a - 2 b \end{array} |$

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18. 定义新运算：a $\otimes$ b=a(1-b) ，其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：(-1) $\otimes$ 1=(-1)×(1-1)=0．

(1)、计算：(1+ $\sqrt{2}$ ) $\otimes$ $\sqrt{2}$ ；

(2)、小嘉说：“若a+b=0，则a $\otimes$ a+b $\otimes$ b= 2ab．”你是否同意他的观点？请说明理由．

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19. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．

(1)、请判断点M(1，3)，N(3，6)是不是和谐点，并说明理由；

(2)、若和谐点P(a，3)在直线y=x+3b(b为常数)上，求a、b的值．

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20. 先阅读下面一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P₁(x₁ ， y₁) ，P₂(x₂ ， y₂)，P₁、P₂两点间的距离P₁P₂= $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x₂-x₁|或|y₂-y₁| ．

(1)、已知A(1，3) ，B(-3，-5) ，试求A ，B两点间的距离；

(2)、已知线段MN∥y轴，MN=4，若点M的坐标为(2，-1)，试求点N的坐标；

(3)、已知三角形DEF各顶点的坐标分别为D(0，6)，E(-3，2)，F(3，2) ，请判断该三角形的形状，并说明理由．

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21. 请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题：

(1)、如果x=-5，2⊙4=-18，求y的值；

(2)、若1⊙1=8，4⊙2=20，求x，y的值.

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22. 对于任意四个有理数a ， b ， c ， d ，可以组成两个有理数对（a ， b）与（c ， d）．规定：（a ， b）★（c ， d）=ad－bc ．如：（1，2）★（3，4）=1×4－2×3=－2．
根据上述规定解决下列问题：

(1)、有理数对（5，－3）★（3，2）=；

(2)、若有理数对（－3，x－1）★（2，2x+1）=15，则x=；

(3)、若有理数对（2，x－1）★（k ， 2x＋k）的值与x的取值无关，求k的值．

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23. 对于有理数 $a$ ， $b$ ，规定一种新运算： $a * b = a b + b$ ．

(1)、计算： $(- 3) * 4$

(2)、若方程 $(x - 4) * 3 = 6$ ，求 $x$ 的值．

(3)、计算： $5 * [(- 3) * 2]$ 的值．

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24. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA $= \frac{底边}{腰} = \frac{B C}{A B}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)、sad60°＝， sad120°＝

(2)、如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知sinA $= \frac{3}{5}$ ，试求sadA的值．

(3)、直线y $= - \frac{2}{3}$ x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，点M，N分别在线段AB，OA上，且△MON是等腰三角形，设△MON的顶角为θ，当sadθ $= \frac{6}{5}$ 时，求点M的坐标．（请直接㝍出结果）

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25. 定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得 $y = x^{2}$ ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边.

(1)、“若等边三角形为平方三角形，则面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ”是命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）

(2)、如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠CAD=∠B，CD=1，求证：△ABC为平方三角形；

(3)、若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a=2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值.

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26. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x₁ ， y₁)，点Q的坐标为(x₁ ， y₂)，且x₁≠x₂ ， y₁≠y₂ ，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”．图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图．

(1)、已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)，求点A，B的“衍生矩形”的面积；

(2)、已知点A的坐标为(-1，0)，点C在直线x=2上，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，求直线AC的解析式

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27. 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $\sqrt{2}$ -1来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？．

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分，差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分．

例如： $\sqrt{4}$ < $\sqrt{7}$ < $\sqrt{9}$ ，即2< $\sqrt{7}$ <3， $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{7}$ -2．请解答：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求a+b- $\sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知10+ $\sqrt{3}$ =x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x-y的相反数．

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28. 在实数范围内，方程x²=﹣1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i²=﹣1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi（{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²﹣b²+2abi，若 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{2} = {(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2} i) + {(\frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，依据上述规定，

(1)、若 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，试求Z³的值；

(2)、若 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，试求z²⁰⁰⁸的值．

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29. 在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．

(1)、已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数）， $\frac{s t}{2}$ 是整数，求这个四位“对称等和数”；

(2)、已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A= $\bar{1 a 5}$ （1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．

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