浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题43 探索图形的规律

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数12对应的字是（）

A、振 B、兴 C、中 D、华

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2. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为（）

A、4n B、3n C、4n－2 D、3n+1

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3. 观察图中给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）.

A、3n－2 B、3n－1 C、4n＋1 D、4n－3

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4. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.
例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A、289 B、1024 C、1225 D、1378

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5. 如图①，在五环图案内，分别填写数字a，b，c，d，e，其中a，b，c表示三个连续偶数(a <b<c)，d，e表示两个连续奇数(d<e)，且满足a+b+c=d+ e，如图②，2+4+6=5+7．若b=- 8，则d²-e²的结果为（）

A、-56 B、56 C、-48 D、48

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6. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(1，2)，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）

A、(1，-2) B、(-1，-2) C、(-1，2) D、(1，2)

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7. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过2017次运动后，动点P的坐标为（）

A、（2017，1） B、（2017，0） C、（2017，2） D、（2016，0）

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8. 如图所示，小球从台球桌面ABCO上的点P(0，1)出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角．若小球以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒的小球所在位置的坐标为（）

A、(2，3) B、(3，4) C、(3，2) D、(0，1)

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9. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O₁ ， O₂ ， O₃ ， ……组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为 $\frac{π}{2}$ 个单位长度/秒，则第2021秒时，点P的坐标是（）

A、(2021，0) B、(2021，-1) C、(2021，1) D、(2021，0)

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10. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

A、1 B、2021 C、2020 D、2019

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11. 如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P₁ ，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P₁ ， P₂ ，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P₁ ， P₂ ， P₃ ，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P₁ ， P₂ ， P₃ ， …，P_n ，把△ABC分成（）个互不重叠的小三角形．

A、2n B、2n＋1 C、2n－1 D、2(n＋1)

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二、填空题

12. 如图，在第1个△A₁BC中，∠B=30°，A₁B=CB；在边A₁B上任取一点D，延长CA₁到A₂ ，使A₁A₂=A₁D，得到第2个△A₁A₂D；在边A₂D上任取一点E，延长A₁A₂到A₃ ，使A₂A₃=A₂E，得到第3个△A₂A₃E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是．

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13. 如图，用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是cm（结果用含n的代数式表示）.

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14. 将一张长为12.6cm，宽为acm的长方形纸片按图折叠出一个正方形并剪下，称为第一次操作；将余下的长方形纸片再次折叠出一个正方形并剪下，称为第二次操作…如此操作下去，若每一次剪下后的长方形纸片只能折出一个正方形，当第五次操作后，剩下图形的长与宽之比为2：1，则a的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a，b)，则经过第2021次变换后所得的点A坐标是

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16. 如图所示，在平面直角坐标系内，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P₁ (0，1)，P₂(1，1)，P₃(1，0)，P₄(1，- 1)，P₅(2，-1)，P₆(2，0)，……，则点P₂₀₂₁的坐标是

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17. 如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A₁点，再向正北方向走6m到达A₂点，再向正西方向走9 m到达A₃点，再向正南方向走12 m到达A₄点，再向正东方向走15m到达A₅点．按如此规律走下去，当机器人走到A₆点时，A₆点的坐标是

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18. 一个质点P在第一象限及坐标轴上运动，在第1秒钟，从原点运动到(0，1)，然后按箭头的方向运动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →(1，0) ……每秒移动一个单位，则点P运动到(7，7)位置时共运动了秒．

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三、综合题

19. 观察下列图形，发现图形中“●”的排列规律：

根据你所发现的规律，解答下列问题．

(1)、在题中横线上补画出第1个图形；

(2)、把第1个图形中“●”的个数记为a₁ ，第2个图形中“●”的个数记为a₂ ，第3个图形中“●”的个数记为a₃ ， …，第n个图形中“●”的个数记为a_n（其中n为正整数）．
①直接写出：第5个图形中“●”的个数a₅=▲ ；

②计算：a₂-a₁−=▲ ， a₃-a₂=▲ ， a₄-a₃−=▲ ；

③由②中的计算结果猜想a_n+1-a_n=▲ ；（用含有n的式子表示）

④模仿②中的方法，猜想a_n+1+a_n ，的结果（用含有n的式子表示），并写出猜想过程．

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20. 已知， $∠ A B C$ 和 $∠ D E F$ 中， $A B // D E$ ， $B C // E F$ .试探究：

(1)、如图1， $∠ B$ 与 $∠ E$ 的关系是；

(2)、如图2，写出 $∠ B$ 与 $∠ E$ 的关系，并说明理由；

(3)、根据上述探究，请归纳得到一个真命题.

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21. 两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；

②符合①要求的线段必须全部画出；

图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；

图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；

(1)、当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为多少个；

(2)、试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

(3)、当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？

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22. 自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.

(1)、观察图形，填写下表：

链条的节数/节

2

3

4

…

链条的长度/cm

…

(2)、如果x节链条的长度为y(cm)，那么y与x之间的关系式是什么?

(3)、如果一辆某种型号自行车的链条(安装前)由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条(安装后)总长度是多少?

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23. 用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．

(1)、.请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积．
方法①：；
方法②：．

(2)、.由(1)可得出 $(m + n)$ ² ， ${(m - n)}^{2}$ ，4mn这三个代数式之间的一个等量关系为：．

(3)、利用(2)中得到的公式解决问题：已知2a+b=6，ab＝4，试求 ${(2 a - b)}^{2}$ 的值．

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24. 如图1，2，3，…是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19盆花，…

(1)、根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有盆花，图5中，应该有盆花；

(2)、请你根据图中花盆摆放的规律，写出第n个图形中花盆的盆数．

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25. 如图所示，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)、“17”在射线上．

(2)、请任意写出三条射线上数字的排列规律．

(3)、“2013”在哪条射线上？

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26. 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小角形三边的中点，得到图3.

(1)、图2中共有个三角形，图3中共有三角形；

(2)、按上面的方法继续下去：
①第n个图形（图1是第一个图形）中共有多少个三角形（用含n的代数式表示）？如果某个图形有2021个三角形，求n的值.

②是否存在相邻两个图形的三角形的数量之和等于另一个图形的三角形的数量？说明理由.

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27. 某餐厅中1张长方形的桌子可坐 6人，按下图方式将桌子拼在一起．

(1)、填下表：
桌子数
1
2
3
4
5
…
n
人数
6
8
…

(2)、若餐厅有72张这样的长方形桌子，按照上图方式每8张拼成1张大桌子，则72张桌子可拼成9张大桌子，共可坐人．

(3)、若将餐厅中的若干张桌子拼成一张大桌子，恰好坐下200人，则餐厅共有桌子张．

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28. 观察猜想：我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”说明数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常巧妙而简单，观察图形：

(1)、图中A表示的数值是；

(2)、根据你的观察，猜想：
$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ =1﹣=；

(3)、你能猜想下列式子的值吗？
① $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{128}$ + $\frac{1}{256}$ + $\frac{1}{521}$ ；
② $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{2^{3}}$ +…+ $\frac{1}{2^{2014}}$ ．

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29. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：

(1)、经过第3次捏合后，可以拉出根细面条；

(2)、到第次捏合后可拉出32根细面条．

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链条的节数/节	2	3	4	…
链条的长度/cm				…

桌子数	1	2	3	4	5	…	n
人数	6	8				…