浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题42 探索数与式的规律

试卷更新日期：2022-01-13 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2³＝3+5，3³＝7+9+11，4³＝13+15+17+19，……若m³分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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2. 观察下列各数的个位数字的变化规律：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，……通过观察，你认为2²⁰²¹的个位数字应该是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，…，第2021次输出的结果为（）

A、6 B、3 C、12 D、10

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4. 已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办（）

A、2066年 B、2067年 C、2068年 D、2069年

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5. 若 $p = \frac{1}{n (n + 3)} + \frac{1}{(n + 3) (n + 6)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(n + 12) (n + 15)}$ ，则使 $p$ 最接近 $\frac{1}{10}$ 的正整数 $n$ 是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 一质点 $P$ 从距原点8个单位的 $M$ 点处向原点方向跳动.第一次跳动到 $O M$ 的中点 $M_{1}$ 处，第二次从 $M_{1}$ 跳到 $O M_{1}$ 的中点 $M_{2}$ 处，第三次从点 $M_{2}$ 跳到 $O M_{2}$ 的中点 $M_{3}$ 处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点 $O$ 的距离为（）

A、 $2^{- 2018}$ B、 $2^{- 2019}$ C、 $2^{- 2020}$ D、 $2^{- 2021}$

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7. 已知a₁=x+1（x≠0且x≠1），a₂= $\frac{1}{1 - a_{1}}$ ，a₃= $\frac{1}{1 - a_{2}}$ ……，a_n= $\frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ ，则a₂₀₂₁等于（）

A、-x+1 B、x+1 C、 $\frac{1}{x + 1}$ D、 $- \frac{1}{x}$

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8. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表所示是两种运算对应关系的一组实例：

指数运算	2¹=2	2²=4	2³=8	……	3¹=3	3²=9	3³=27	……
新运算	log₂2= 1	log₂4= 2	log₂8= 3	……	log₃3= 1	log₃9= 2	log₃27= 3	……

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log₂16= 4，②log₅ 25=5，③log₂ $\frac{1}{2}$ =-1．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 如图，在平面直角坐标系中，从点P₁(-1，0) ，P₂(-1，-1)，P₃(1，-1)，P₄(1，1)，P₅(-2，1)，P₆(-2．-2) ……依次进行下去，则P₂₀₁₁的坐标为（）

A、(506，-506) B、(-506，505) C、(505，505) D、(506，506)

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10. 将1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ，按如图所示的方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(15，8)表示的数是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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11. 设
$s = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2007^{2}} + \frac{1}{2008^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2008^{2}} + \frac{1}{2009^{2}}}$
则与s最接近的整数是（）

A、2009 B、2006 C、2007 D、2008

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二、填空题

12. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为.

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13. 给定一个定义：对于排好顺序的三个数：x₁ ， x₂ ， x₃称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ，计算|x₁|， $| \frac{x_{1} + x_{2}}{2} |$ ， $| \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} |$ ，将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的价值．例如：对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2， $| \frac{2 + (- 1)}{2} |$ = $\frac{1}{2}$ ， $| \frac{2 + (- 1) + 3}{2} |$ ＝ $\frac{4}{3}$ ，所以数列2，﹣1，3的价值为 $\frac{1}{2}$ ．我们发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其对应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为 $\frac{1}{2}$ ；数列3，﹣1，2的价值为1；经过研究发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，根据以上材料，回答下列问题：

(1)、数列4，3，2的价值为；

(2)、将“4，3，﹣2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，则这些数列的价值的最小值.

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14. 观察按下列规则排成的一列数： $\frac{1}{1} ， \frac{1}{2} ， \frac{2}{1} ， \frac{1}{3} ， \frac{2}{2} ， \frac{3}{1} ， \frac{1}{4} ， \frac{2}{3} ， \frac{3}{2} ， \frac{4}{1} ， \frac{1}{5} \cdot \cdot \cdot$ 在式中，从左起第m个数记为 $F (m)$ ，当 $F (m) = \frac{1}{6}$ 时，则m=. 当 $F (m) = \frac{2}{99}$ 时，则m=.

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15. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图 $F 1 - 7 (1)$ )；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，...，将这种做法继续下去(如图(2)，图(3...)，则图6中挖去三角形的个数为

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16. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，2) ……按这样的规律运动，第2021次运动后，点P的坐标是

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17. 用计算器计算： $\sqrt{11 - 2}$ ， $\sqrt{111 - 22}$ ， $\sqrt{111111 - 222}$ ……，由此猜测 $\sqrt{\underset{2022 个 1}{\underset{︸}{111 \dots 1}} - \underset{1011 个 2}{\underset{︸}{22 \dots 2}}}$ 的结果为

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18. 按一定规律排成的一列数依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{10}$ ， $\frac{2}{15}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{26}$ ， $\frac{\sqrt{6}}{35}$ ，……，按此规律排下去，这列数中的第10个数是．

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三、综合题

19. 观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① $\sqrt{1^{3}} = 1 = 1$ ；

② $\sqrt{1^{3} + 2^{3}} = 1 + 2 = 3$ ；

③ $\sqrt{1^{3} + 2^{3} + 3^{3}} = 1 + 2 + 3 = 6$ ；

④ $\sqrt{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ ．

根据以上算式的规律，解答下列问题：

(1)、1³+2³+3³+4³+5³=()²=；

(2)、 $\sqrt{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + {(n - 1)}^{3} + n^{3}}$ =；（用含n的代数式表示）

(3)、简便计算：11³+12³+13³+…+19³+20³ ．

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20. 某餐饮公司对外招商承包，有符合条件的甲、乙两个企业。甲每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润5万元，以后每年比前一年增5万元；乙每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润1.5 万元，以后每半年比前一半年增加1.5万元．

(1)、如果企业乙承包一年，则需上缴的总利润为多少万元？

(2)、如果承包4年，你认为应该承包给哪家企业，总公司获利多？为什么？

(3)、如果承包n年，请用含n的代数式分别表示两企业上缴的总利润(单位：万元)．

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21. 阅读与探究
请阅读下列材料，井解答相应的问题：幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.

例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 $3 \times 3$ 的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.

现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方.

(1)、幻方最中间的数字应等于.

(2)、请将构造的幻方填写在下面 $3 \times 3$ 的方格中.

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22.

(1)、请同学们运用所学的数学知识，完成下表：

a

0.000001

0.001

1

1000

1000000

$^{3} \sqrt{a}$

(2)、观察上表并说明当数a的小数点向右(或向左)移动时，它的立方根 $^{3} \sqrt{a}$ 的小数点的移动规律是怎样的，写出你发现的规律；

(3)、运用你所发现的规律，解决下列问题：
已知 $^{3} \sqrt{5.250}$ ≈1.738，求：

① $^{3} \sqrt{0.00525}$ ；② $^{3} \sqrt{5250000}$

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23. 用计算器探索：

(1)、 $\sqrt{121 (1 + 2 + 1)}$ =；

(2)、 $\sqrt{12321 (1 + 2 + 3 + 2 + 1)}$ = ；

(3)、 $\sqrt{1234321 (1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)}$ =；

(4)、由此猜想： $\sqrt{1234567654321 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)}$ 的值．

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24. 试验与探究：我们知道分数 $\frac{1}{3}$ 写为小数即 $0 . \dot{3}$ ，反之，无限循环小数 $0 . \dot{3}$ 写成分数即 $\frac{1}{3}$ ．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在以 $0. \dot{7}$ 为例进行讨论：设 $0. \dot{7}$ =x，由 $0. \dot{7}$ =0.7777…可知，10x-x=7.77…-0.777…=7，即10x-7x=7，解方程，得x= $\frac{7}{9}$ ．于是得 $0. \dot{7}$ = $\frac{7}{9}$
请仿照_上述例题完成下列各题：

(1)、请你把无限循环小数 $0. \dot{5}$ 写成分数，即 $0. \dot{5}$ =

(2)、你能化无限循环小数 $0. \dot{7} \dot{3}$ 为分数吗？请仿照上述例子求解．

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25. 已知n组正整数：
第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，7；第四组：24，10，26 ；第五组：35，12，37；第六组：48， 14，50，……

(1)、是否存在一组数，即符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由．

(2)、以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．

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26. [阅读材料]
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 $\sqrt{13}$ 的近似值．

小明的方法：因为 $\sqrt{9}$ < $\sqrt{13}$ < $\sqrt{16}$ ，

所以设 $\sqrt{13}$ =3+k(0<k<1)，则( $\sqrt{13}$ )²=(3+k)² ．

所以13=9+6k+k² ．所以13≈9+6k．解得k≈ $\frac{4}{6}$

所以 $\sqrt{13}$ ≈3+ $\frac{4}{6}$ ≈3.67．

[解决问题]

(1)、请你依照小明的方法，估算 $\sqrt{41}$ 的近似值．

(2)、请结合上述具体实例，概括出估算 $\sqrt{m}$ 的公式：已知非负整数a，b，m，若a< $\sqrt{m}$ <a+1，且m=a²+b，则 $\sqrt{m}$ ≈(用含a，b的代数式表示)．

(3)、请用(2)中的结论估算 $\sqrt{37}$ 的近似值．

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27.

(1)、填表：

a

0.000001

0.001

1

1000

1000000

$^{3} \sqrt{a}$

(2)、由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律，

(3)、根据你发现的规律填空：
①已知 $^{3} \sqrt{3}$ ≈1.442，则 $^{3} \sqrt{3000}$ ≈ ， $^{3} \sqrt{0.003}$ ≈；

②已知 $^{3} \sqrt{0.000456}$ ≈0.07697，则 $^{3} \sqrt{456}$ ≈

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28. 阅读材料，求值：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵ ．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵ ，将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶

将下式减去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁶﹣1

即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶﹣1

请你仿照此法计算：

(1)、1+2+2²+2³+…+2¹⁰

(2)、1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）

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29. 已知下列等式：①2²-1²=3；②3²-2²=5③4²-3²=7，…

(1)、请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：；

(2)、请你找出规律，写出第 n 个式子，并说明式子成立的理由．

(3)、利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+…+2015+2017．

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30. 观察下列各式及验证过程. $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 3}} = \sqrt{\frac{2}{2^{2} \times 3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{2}{2 \times 3 \times 4}} = \sqrt{\frac{3}{2 \times 3^{2} \times 4}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，验证：
$\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \sqrt{\frac{1}{3 \times 4 \times 5}} = \sqrt{\frac{4}{3 \times 4^{2} \times 5}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$ .

(1)、按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{\frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$ 的变形结果并进行验证.

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2的自然数)表示的等式，并进行验证.

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a	0.000001	0.001	1	1000	1000000
$^{3} \sqrt{a}$

a	0.000001	0.001	1	1000	1000000
$^{3} \sqrt{a}$