云南省昆明市2022届高三理数摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 下列有关四边形 $A B C D$ 的形状判断错误的是（）

A、若 $\vec{A D} = \vec{B C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形 B、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为梯形 C、若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A B} | = | \vec{A D} |$ ，则四边形 $A B C D$ 为菱形 D、若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，且 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，则四边形 $A B C D$ 为正方形

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3. 在复平面内，复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3} i$ ， $z_{3} = \sqrt{3} - 2 i$ ， $z_{4} = - 2 + i$ 对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， $Z_{3}$ ， $Z_{4}$ ，则其中一个点不在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$ 的圆上的是（）

A、 $Z_{1}$ B、 $Z_{2}$ C、 $Z_{3}$ D、 $Z_{4}$

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4. 四名同学各掷骰子4次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断该同学掷出的骰子一定没有出现点数1的是（）

A、平均数为3，众数为4 B、平均数为4，中位数为3 C、中位数为3，方差为2.5 D、平均数为3，方差为2.5

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5. 已知 $B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点， $F_{2}$ 是 $C$ 的右焦点，直线 $B F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $A$ ，若 $| B F_{2} | = 2 | F_{2} A |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} + a_{4} = 24$ ，则 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} - a_{4} a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} a_{10} =$ （）

A、 $\frac{8}{5} (2^{18} + 1)$ B、 $\frac{8}{5} (2^{18} - 1)$ C、 $\frac{8}{5} (2^{20} + 1)$ D、 $\frac{8}{5} (2^{20} - 1)$

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7. $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ⋯ + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + ⋯ + C_{n}^{n} b^{n}$ 叫做二项式定理，取 $a = b = 1$ ，可得二项式系数的和．执行如图所示的程序框图，如果输入 $n = 8$ ，则输出 $S =$ （）

A、64 B、128 C、256 D、512

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8. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点 $O$ 到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于 $d$ ，则 $d =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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9. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为4，圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与双曲线 $C$ 及 $C$ 的一条渐近线在第一象限的交点分别为 $A$ ， $B$ ，若点 $B$ 的纵坐标是点 $A$ 纵坐标的2倍，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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10. 某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数 $y = a \cdot b^{x} + c$ 比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（）

A、1.37 B、1.375 C、1.38 D、1.385

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11. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $(π ， 2 π)$ 上是单调函数，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $2$

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12. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 1) e^{x - 1}$ 的极值点，则 $f (x)$ 的极大值为（）

A、-1 B、 $- 2 e^{- 3}$ C、 $5 e^{- 3}$ D、1

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 6 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = - x + 3 y$ 的最小值为．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则满足条件的一个向量 $\vec{b} =$ ．

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15. 若从正六边形的 $6$ 个顶点和中心共 $7$ 个点中随机选出 $3$ 个点，以选出的这 $3$ 个点为顶点构成直角三角形的概率为．

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16. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} \cdot 2^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 2$ ， $c = 1$ ．

(1)、若 $B = 45 °$ ，求 $c o s C$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，求 $A D$ 的长．

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18. 某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．
把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：

(1)、根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？

(2)、国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染： $> 65$ 分贝；中度污染： $60 — 65$ 分贝；轻度污染： $55 — 60$ 分贝；较好： $50 — 55$ 分贝；好： $≤ 50$ 分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天）

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $A B = A C$ ， $O$ 是 $B C$ 的中点， $O A ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $E$ 是棱 $A C$ 上的一点，从① $C E = 2 E A$ ；②二面角 $E - B D - C$ 大小为 $60 °$ ；③ $A - B C D$ 的体积为 $\sqrt{3}$ 这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

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20. 已知函数 $f (x) = x - s i n x$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $2 e^{x} \cdot f (x) + c o s x \cdot e^{x} > 1$ ．

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21. 已知点 $M (x_{0} ， 2)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $C$ 的焦点为 $F$ ， $| M F | = 2$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及 $x_{0}$ ；

(2)、已知 $A$ ， $B$ 两点在 $C$ 上，点 $M$ 异于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之和为1，证明：直线 $A B$ 经过定点．

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22. 已知点 $A$ 、 $B$ 的极坐标为 $A (1 ， π)$ 、 $B (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，直线 $l$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 c o s θ$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点．以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ．

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程和曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、求 $| M N |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ ， $g (x) = | x + 3 | - | x - 1 |$ ．

(1)、在直角坐标系中画出 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、若 $f (x) + a \geq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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