云南省红河州2022届高三高中毕业生理数第一次复习统一检测试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | - 1 < x < 5}$ ， $B = {0 ， 2 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出，非寄宿制中小学幼儿园原则上不得在校园内设置食品小卖部或超市，已设置的要逐步退出.某校对学生30天内在小卖部消费过的天数进行统计，（视频率为概率，同一组中数据用该组区间右端点值作代表），则下列说法不正确的是（）

A、该校学生在小卖部消费天数超过20天的概率为50% B、该校学生在小卖部消费天数不超过15天的概率为25% C、估计学生在小卖部消费天数平均值约为18天 D、估计学生在小卖部消费天数在25-30天的最多

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3. 复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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4. 在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通常也称作交换律，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图时，用函数 $R = \frac{1}{2} (1 - e^{- 2 x})$ 作为重组率和交换律的校正公式（R代表基因重组率，x代表基因交换律），当某生物的基因重组率为 $\frac{1}{8}$ 时，其交换律为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 3 \approx 1.0986$ ）

A、1.2424 B、0.2894 C、0.0323 D、0.1438

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{5} a_{11} = 3$ ， $a_{3} + a_{13} = 4$ ，则 $\frac{a_{16}}{a_{6}}$ 的值为（）

A、3 B、9 C、3或 $\frac{1}{3}$ D、9或 $\frac{1}{9}$

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6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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8. 有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（）

A、96种 B、72种 C、48种 D、24种

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9. 锐角三角形的内角 $B$ ､ $C$ 满足： $t a n B - t a n C = \frac{1}{s i n 2 B}$ ，则有（）

A、 $s i n 2 B - s i n C = 0$ B、 $s i n 2 B + s i n C = 0$ C、 $s i n 2 B - c o s C = 0$ D、 $s i n 2 B + c o s C = 0$

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10. 已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有公共焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限的交点为点P， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则“椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ”是“双曲线 $C_{2}$ 的渐近线方程是 $y = \pm \sqrt{2} x$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 在四面体 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C = \sqrt{7}$ ， $S A = A C = 2$ ， $A B = 1$ ，则该四面体外接球的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $11 π$ C、 $\frac{28}{3} π$ D、 $\frac{40}{3} π$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x} - x^{3} + 2 x - 1$ ，下列说法中正确的个数是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， - 1)$ 对称；

②函数 $f (x)$ 由三个零点；

③ $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 的极值点；

④不等式 $f (m - 2) + f (m^{2}) > - 2$ 的解集是 $(- 2 ， 1)$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2)$ ，则下列向量与向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直的有.（只填正确的序号）
① $(2 ， 1)$ ；② $(- 2 ， - 1)$ ；③ $(- 1 ， 2)$ ；④ $(1 ， \frac{1}{2})$

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14. 曲线 $y = \frac{e^{x - 1}}{x + 1}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是.

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ， $x = - \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一个极小值点.若把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $t (t > 0)$ 个单位长度后，所得函数的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称，则实数 $t$ 的最小值为.

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16. 曲线C上任意一点P到点 $(1 ， 0)$ 的距离比到y轴的距离大1，A，B是曲线C上异于坐标原点O的两点，直线OA，OB的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，若直线AB与圆 ${(x - 11)}^{2} + y^{2} = 25$ 交于点E，F，则 $| E F |$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.

(1)、若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率；

(2)、若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 4$ ， $S_{n + 1} - 3 S_{n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{11}{10}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 2 C D = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B$ .

(1)、从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证： $E F ∥$ 平面PAB；
条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点.

(2)、若点M在棱PD（含端点）上运动，当 $\frac{P M}{P D}$ 为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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20. 在平面直角坐标系Oxy中，点M是以原点O为圆心，半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心，半径为 $b (a > b > 0)$ 的圆与线段OM交于点N，作 $M D ⊥ x$ 轴于点D，作 $N Q ⊥ M D$ 于点Q.

(1)、令 $∠ M O D = α$ ，若 $a = 4$ ， $b = 1$ ， $α = \frac{π}{3}$ ，求点Q的坐标；

(2)、若点Q的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；

(3)、设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正负半轴分别交于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，若点E､F分别满足 $\vec{A E} = - 3 \vec{O E}$ ， $4 \vec{A F} = 3 \vec{O B_{2}}$ ，设直线 $B_{1} E$ 和 $B_{2} F$ 的交点为K，设直线 $l$ ： $x = \frac{a^{2}}{c}$ 及点 $H (c ， 0)$ ，（其中 $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ），证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值 $\frac{c}{a}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x l o g_{a} x - (2 + \frac{1}{l n a}) x$ （ $a$ 为常数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = e$ 时，若 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} m x^{2} + 3 x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $l n x_{1} + l n x_{2} > 0$ .

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22. 已知曲线C的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、过点 $A (- 4 ， \sqrt{3})$ 的光线经x轴反射后，与曲线C只有一个公共点P，求点P的极坐标.

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23. 已知a，b，c为实数且 $a + 2 b + 5 c = 10$ .

(1)、若a，b，c均为正数，当 $\sqrt{2 a b} + \sqrt{5 a c} + \sqrt{10 b c} = 10$ 时，求 $a + b + c$ 的值；

(2)、证明： ${(2 b + 5 c)}^{2} + {(a + b + 5 c)}^{2} + {(a + 2 b + 4 c)}^{2} \geq \frac{490}{3}$ .

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