西南名校联盟2022届“3 3 3”高考理数备考诊断性联考卷（一）

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 4 x - 12 < 0 ， x \in Z} ， B = {x | \sqrt{x + 2} < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知复数z满足 $z (1 - 2 i) = 1 + i$ ，则z的共轭复数对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度 $x / c m$ 与售价 $y /$ 元之间存在线性相关关系，回归方程为 $y = 0.3 x + a$ ．当苗木长度为 $120 c m$ 时，估计价格为（）元．
$x / c m$
10
20
30
40
50
60
$y /$ 元
2
6
10
14
16
18

A、36.5 B、35 C、37 D、35.5

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4. 已知 $α ， β$ 是两个不同平面， $m ， n$ 是两条不同直线，给出下列命题：
①若 $m ⊥ α ， m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ ；
②若 $α ⊥ β ， m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ ；
③若 $m \subset α ， n \subset α ， m / / β ， n / / β$ ，则 $α / / β$ ；
④若 $m ⊥ α ， n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ ．
其中正确命题的个数为（）

A、0 B、2 C、1 D、3

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5. 如图，达摩院青橙奖分别由陈杲、方璐（女）、金鑫、刘渊、陆盈盈（女）、王权、王志俊、韦东奕、赵慧蝉（女）、朱飞虎共10位青年科学家获得，每人获得奖金100万元，这也是青橙奖颁奖以来女科学家获奖人数首次达到三人为了向他们表示敬意，某视频网站UP主准备从中随机选择三位科学家将他们的经历做一期视频，要求所选的三人中至少有一名女科学家，则有多少种不同的选择（）

A、120 B、63 C、85 D、210

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6. 在满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \\ y \geq 0 \end{array}$ 的平面区域内随机取一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，设事件A为“ $y_{0} < \frac{1}{2} x_{0}$ ”，那么事件A发生的概率为（）

A、 $\frac{4}{27}$ B、 $\frac{13}{25}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A、4 B、 $6 + 2 \sqrt{5}$ C、 $2 + 2 \sqrt{5}$ D、6

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8. 已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ 且 $t a n α = \frac{4}{3} ， c o s (α - β) = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，则 $c o s (2 α - β) =$ （）

A、 $- \frac{2}{11}$ B、 $- \frac{11 \sqrt{5}}{25}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{25}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$

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9. 如图，在△ $A B C$ 中，点M是 $A B$ 上的点且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ ， N是 $A C$ 上的点且满足 $\vec{A N} = \vec{N C}$ ， $C M$ 与 $B N$ 交于P点，设 $\vec{A B} = a ， \vec{A C} = b$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b$ B、 $\frac{3}{5} a + \frac{1}{5} b$ C、 $\frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b$ D、 $\frac{3}{10} a + \frac{3}{5} b$

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10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆 $G ： x^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ 上一动点，则 $| P Q | + | P F_{2} |$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、 $3 + \sqrt{5}$ D、5

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11. 函数 $g (x) = s i n (ω x) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位得到函数 $f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{6})$ D、 $(0 ， \frac{1}{6}) \cup [\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$

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12. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}} ， b = {(1 + e)}^{\frac{1}{e}} ， c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和．若 $a_{1} = - 7 ， S_{3} = - 15$ ，则 $a_{8} =$ ．

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14. $(1 + 2 x^{2}) (x - \frac{1}{x})^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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15. 已知x，y为正实数，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x y}$ 的最小值为.

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16. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ ，则满足条件的点 $C$ 的轨迹长度为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} \neq 0$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n - 1} = a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n + 1} + 2 n$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
$[5 ， 6)$
$[6 ， 7)$
$[7 ， 8)$
$[8 ， 9)$
$[9 ， 10]$
频数
16
30
40
10
4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）

(1)、由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $x$ ， $σ$ 近似为样本的标准差s，并已求得 $s \approx 0.82$ ，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间 $(5.42 ， 7.88]$ 之外的个数，求 $P (X = 1)$ 及X的数学期望（精确到0.001）；

(2)、已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示 $t \in (6 ， 7)$
质量指标值k
$[5 ， 6)$
$[6 ， 7)$
$[7 ， 8)$
$[8 ， 9)$
$[9 ， 10]$
利润y
$5 t$
$3 t$
$2 t$
t
$- 5 t^{2}$
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6827 ， P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z \leq μ + 3 σ) = 0.9973 ， 0.818 6^{9} \approx 0.1651$ .

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19. 如图甲，平面图形 $A B C D E$ 中， $A E = E D = D B = B C = 1 ， C B ⊥ B D ， E D / / A B ， ∠ E A B = 60 °$ ，沿 $B D$ 将 $△ B C D$ 折起，使点C列F的位置，如图乙，使 $B F ⊥ B E ， \vec{E G} = \vec{B F}$ .

(1)、求证：平面 $G E B F ⊥$ 平面 $A E G$ ；

(2)、点M是线段 $F G$ 上的动点，当 $G M$ 多长时，平面 $M A B$ 与平面 $A E G$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ?

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20. 如图，点M是圆 $A ： x^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ 上任意点，点 $B (0 ， 1)$ ，线段 $M B$ 的垂直平分线交半径 $A M$ 于点P，当点M在圆A上运动时，

(1)、求点P的轨迹E的方程；

(2)、 $B Q / / x$ 轴，交轨迹 $E$ 于 $Q$ 点（ $Q$ 点在 $y$ 轴的右侧），直线 $l ： x = m y + n$ 与 $E$ 交于 $C ， D$ （ $l$ 不过 $Q$ 点）两点，且 $C Q$ 与 $D Q$ 关于 $B Q$ 对称，则直线 $l$ 具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线 $l$ 恒过定点；②m为定值；③n为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = - a x^{2} + x l n x + 2$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) > x - \frac{2}{x}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ ( $ϕ$ 为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (3 ， 0) ， B (0 ， 3) ， M$ 点是曲线C上任意点，求 $△ A B M$ 面积的最大值，并求此时M的极径．

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23. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ，函数 $f (x) = | x + a | - | b - x | + c$ 的最大值为4．

(1)、求 $a + b + c$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{25} a^{2} + \frac{1}{16} b^{2} + c^{2}$ 的最小值，并求此时 $a ， b ， c$ 的值．

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质量指标值	$[5 ， 6)$	$[6 ， 7)$	$[7 ， 8)$	$[8 ， 9)$	$[9 ， 10]$
频数	16	30	40	10	4

质量指标值k	$[5 ， 6)$	$[6 ， 7)$	$[7 ， 8)$	$[8 ， 9)$	$[9 ， 10]$
利润y	$5 t$	$3 t$	$2 t$	t	$- 5 t^{2}$

$x / c m$	10	20	30	40	50	60
$y /$ 元	2	6	10	14	16	18