四川省成都市2021-2022学年高三理数第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2022-01-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x > 0}$ ， $B = {x | e^{x} \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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2. 已知复数z= $\frac{i}{2 i - 1}$ （ $i$ 为虚数单位），则|z|=（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{25}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 函数 $f (x) = s i n x (s i n x + c o s x)$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ 3 x + 2 y - 5 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则z=3x+y的最大值为（）

A、-3 B、3 C、-4 D、4

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5. 在△ABC中，已知AB⊥BC，AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（）

A、2π B、2 $\sqrt{2}$ π C、3 $\sqrt{2}$ π D、4 $\sqrt{2}$ π

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{2} x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 已知实数 $a ， b$ 满足 $l o g_{a} 2 > l o g_{b} 2 > 1$ ，则（）

A、 $1 < a < 2 < b$ B、 $1 < a < b < 2$ C、 $1 < b < a < 2$ D、 $a < 1 < b < 2$

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8. 已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（）

A、 $\frac{36}{625}$ B、 $\frac{9}{125}$ C、 $\frac{108}{625}$ D、 $\frac{54}{125}$

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9. 已知 $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{s i n α}{1 - t a n α}$ 的值为（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{60}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{60}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{30}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{30}$

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10. 四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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11. 如图，已知三棱锥A-BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且 $\frac{A C}{B D} = m ， \frac{A M}{M B} = n$ ，其中m，n∈（0，+∞）.有下列命题：
①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；
②当AC⊥BD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形；
③当m=1时，截面MNPQ的周长与n无关；
④当AC⊥BD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1.
其中假命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 已知函数 $f (x)$ = ${\begin{array}{l} \frac{1 + l n x}{x} ， x > 0 ， \\ x e^{x} ， x \leq 0 . \end{array}$ 则关于x的方程 $e f^{2} (x) - a f (x) - 1 = 0 (a \in R)$ 的解的个数的所有可能值为（）

A、3或4或6 B、1或3 C、4或6 D、3

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二、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为（用数字作答）

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} = (3 ， - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 已知斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|=|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A = \frac{2 π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为.

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}满足2a₂+a₅=0，a₇=2a₄-2.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $2^{a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和.

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18. 某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
补贴额x（单位：百万元）
2
3
4
5
6
经济回报y（单位：千万元）
2.5
3
4
4.5
6

(1)、请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程 $y = b x + a$ ；

(2)、为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.
参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}} ， a = y - b x$

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19. 如图甲，在直角三角形 $A B C$ 中，已知 $A B ⊥ B C$ ， $B C = 4$ ， $A B = 8$ ， D，E分别是 $A B ， A C$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点A到达点 $A$ 的位置，且 $A D ⊥ B D$ ，连接 $A B ， A C$ ，得到如图乙所示的四棱锥 $A -$ $B D E C$ ， M为线段 $A D$ 上一点.

(1)、证明：平面 $A^{^{'}} D B ⊥$ 平面 $B D E C$ ；

(2)、过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A'BC所成角的正弦值.
① $B M = B E$ ；②直线 $E M$ 与 $B C$ 所成角的大小为 $45 °$ ；③三棱锥 $M - B D E$ 的体积是三棱锥 $E - A' B C$ 体积的 $\frac{1}{4} .$
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0 ， p \neq 4)$ ，过点 $A (2 ， 0)$ 且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.

(1)、设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ .若 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求点B的坐标；

(2)、过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求 $\frac{| M N |}{| A P | \cdot | A Q |}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = s i n x - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、a≥ $\frac{1}{2}$ 时，求函数f（x）在区间[0，π]上的最值；

(2)、若关于x的不等式f（x）≤axcosx在区间（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{array}$ （α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

(1)、求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

(2)、已知点 $A$ 的直角坐标为（-1，3），直线l与曲线C相交于E，F两点，求|AE|·|AF|的值.

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23. 已知函数 $f (x)$ =|x-1|+2|x+1|.

(1)、求不等式 $f (x)$ <5的解集；

(2)、设 $f (x)$ 的最小值为m.若正实数a，b，c满足a+2b+3c=m，求3a²+2b²+c²的最小值.

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补贴额x（单位：百万元）	2	3	4	5	6
经济回报y（单位：千万元）	2.5	3	4	4.5	6